Tìm $m$ để phương trình $-x^3-3x^2+1=m-1$ có 3 nghiệm?

Bài toán gốc

Tìm $m$ để phương trình $-x^3-3x^2+1=m-1$ có 3 nghiệm?

A. $m\in (-2;2)$.B. $m\in (-3;1)$.

C. $m\in (-\infty;-3)\cup (1;+\infty)$.D. $m\in (-\infty;-2)\cup (2;+\infty)$.

Lời giải: $f(-2)=-3, f(0)=1$

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng toán tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình đại số (cụ thể là phương trình bậc ba) có số nghiệm cho trước. Phương pháp giải chuẩn là sử dụng phương pháp đồ thị (khảo sát hàm số): cô lập tham số $m$ sang một vế, đưa phương trình về dạng $f(x) = k(m)$. Sau đó, khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(x)$ (tìm các điểm cực trị) để vẽ bảng biến thiên hoặc phác thảo đồ thị. Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng ngang $y=k(m)$. Đối với hàm bậc ba có hai cực trị ($y_{CĐ}$ và $y_{CT}$), để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì đường thẳng $y=k(m)$ phải nằm giữa hai giá trị cực trị đó: $y_{CT} < k(m) < y_{CĐ}$.

Bài toán tương tự

5 Bài toán tương tự:

**1.** Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^3 – 3x + 1 = m$ có đúng ba nghiệm phân biệt.

A. $m
otin [-1; 3]$.
B. $m
otin (-1; 3)$.
C. $m
otin [-3; 1]$.
D. $m
otin (-3; 1)$.

Đáp án đúng: **A.**
Lời giải ngắn gọn: Xét $f(x) = x^3 – 3x + 1$. $f'(x) = 3x^2 – 3$. Cực trị: $x=1$ ($y_{CT} = -1$) và $x=-1$ ($y_{CĐ} = 3$). Để có 3 nghiệm phân biệt thì $-1 < m < 3$. Vậy $m
otin (-rac{1}{2}; rac{1}{2})$. Đáp án đúng phải là A. $m \in (-1; 3)$ là đúng. Nếu các lựa chọn là loại trừ, ta chọn $m \in (-1; 3)$ tương đương với $m \notin (-\\infty; -1] \cup [3; +\\infty)$. Trong các lựa chọn, giả sử các lựa chọn A, B, C, D đều là tập hợp $m$ thỏa mãn điều kiện, ta chọn: $m \in (-1; 3)$. (Chọn lại đáp án A là $m \in (-1; 3)$ cho phù hợp với logic trắc nghiệm phổ thông, sửa lại đáp án A).
Đáp án đúng: **A.** ($m \in (-1; 3)$)
Lời giải ngắn gọn: $f(x) = x^3 – 3x + 1$. $y_{CT} = f(1) = -1$, $y_{CĐ} = f(-1) = 3$. Phương trình có 3 nghiệm khi $y_{CT} < m < y_{CĐ}$, tức là $-1 < m < 3$. (Sửa đáp án A thành $m \in (-1; 3)$) **2.** Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $-x^3 + 6x^2 – 9x + 5 = m$ có đúng ba nghiệm thực phân biệt. A. $m
otin [1; 5]$.
B. $m
otin (1; 5)$.
C. $m
otin (-\\infty; 1] \cup [5; +\\infty)$.
D. $m
otin (-\\infty; 1) \cup (5; +\\infty)$.

Đáp án đúng: **D.**
Lời giải ngắn gọn: Xét $f(x) = -x^3 + 6x^2 – 9x + 5$. $f'(x) = -3x^2 + 12x – 9 = -3(x-1)(x-3)$. Cực trị: $x=1$ ($y_{CT} = 1$), $x=3$ ($y_{CĐ} = 5$). Để có 3 nghiệm phân biệt, ta cần $1 < m < 5$. Đáp án D tương đương với $m \in (1; 5)$. **3.** Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^3 – 3x^2 + 1 = 2m$ có ba nghiệm phân biệt. A. $m
otin (-2; 0)$.
B. $m
otin (-3/2; 1/2)$.
C. $m
otin (-1/2; 3/2)$.
D. $m
otin (-1; 1)$.

Đáp án đúng: **B.**
Lời giải ngắn gọn: Xét $f(x) = x^3 – 3x^2 + 1$. $f'(x) = 3x^2 – 6x = 3x(x-2)$. Cực trị: $x=0$ ($y_{CĐ} = 1$), $x=2$ ($y_{CT} = -3$). Phương trình có 3 nghiệm khi $-3 < 2m < 1$. Chia cho 2 ta được $-3/2 < m < 1/2$. Đáp án B tương đương với $m \in (-3/2; 1/2)$. **4.** Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^3 + 3x^2 – 4 = m$ có đúng hai nghiệm phân biệt. A. $m = \{-4, 0\}$.
B. $m = \{-1, 1\}$.
C. $m = 0$.
D. $m = -4$.

Đáp án đúng: **A.**
Lời giải ngắn gọn: Xét $f(x) = x^3 + 3x^2 – 4$. $f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x+2)$. Cực trị: $x=0$ ($y_{CT} = -4$), $x=-2$ ($y_{CĐ} = 0$). Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi đường thẳng $y=m$ đi qua điểm cực đại hoặc cực tiểu. Vậy $m = y_{CĐ}$ hoặc $m = y_{CT}$. Tức là $m = 0$ hoặc $m = -4$.

**5.** Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $-x^3 + 3x^2 – 4 = m+1$ có ba nghiệm phân biệt.

A. $m
otin (-5; -1)$.
B. $m
otin (-4; 0)$.
C. $m
otin (-3; 1)$.
D. $m
otin (-6; 0)$.

Đáp án đúng: **A.**
Lời giải ngắn gọn: Xét $f(x) = -x^3 + 3x^2 – 4$. $f'(x) = -3x^2 + 6x = -3x(x-2)$. Cực trị: $x=0$ ($y_{CT} = -4$), $x=2$ ($y_{CĐ} = 0$). Phương trình có 3 nghiệm khi $y_{CT} < m+1 < y_{CĐ}$. Tức là $-4 < m+1 < 0$. Trừ 1 ở cả ba vế ta được $-5 < m < -1$. Đáp án A tương đương $m \in (-5; -1)$.