Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=2+3\sqrt{-x^2+4x}$.

Bài toán gốc

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=2+3\sqrt{-x^2+4x}$.

A. $5$.

B. $11$.

C. $10$.

D. $8$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm Giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số chứa căn thức, có dạng $y = A + B\sqrt{u(x)}$ với $B>0$. Phương pháp giải là xét miền xác định của hàm số, sau đó tìm GTLN của biểu thức bên trong căn $u(x)$. Vì $y$ là hàm đồng biến theo $\sqrt{u(x)}$, nên $y$ đạt GTLN khi $u(x) = -x^2+4x$ đạt GTLN. Biểu thức $u(x)$ là hàm bậc hai có đồ thị parabol mở xuống, việc tìm GTLN được thực hiện bằng cách xét tọa độ đỉnh parabol trên miền xác định.

Bài toán tương tự

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=5+2\sqrt{6x-x^2}$.

A. $5$.

B. $9$.

C. $11$.

D. $17$.

Đáp án đúng: C. $11$.

Lời giải ngắn gọn: Hàm số xác định khi $6x-x^2 \ge 0$, tức $x(6-x) \ge 0$ hay $0 \le x \le 6$. Ta đặt $u(x) = 6x – x^2$. Vì hệ số của $\sqrt{u(x)}$ là $2 > 0$, hàm số $y$ đạt GTLN khi $u(x)$ đạt GTLN. $u(x)$ là hàm bậc hai có đỉnh tại $x = -6/(2(-1)) = 3$. Vì $x=3$ thuộc miền $[0; 6]$, GTLN của $u(x)$ là $u(3) = 6(3) – 3^2 = 18 – 9 = 9$. Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số $y$ là $y_{max} = 5 + 2\sqrt{9} = 5 + 2(3) = 11$.