. Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _7}\left( {{x^2} + x + 1} \right) \ge {\log _2}x\) là

Câu hỏi:

. Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _7}\left( {{x^2} + x + 1} \right) \ge {\log _2}x\) là

A. \(S = \left( {0;2} \right]\).

B. \(S = \left( { – \infty ;2} \right]\).

C. \(S = \left( {0;2} \right)\).

D. \(S = \left[ {2; + \infty } \right)\).

Lời giải

\({\log _7}\left( {{x^2} + x + 1} \right) \ge {\log _2}x\)

Điều kiện: \(x > 0\).

Đặt \(t = {\log _2}x \Leftrightarrow x = {2^t}\)

Bất phương tình trở thành: \({\log _7}\left( {{4^t} + {2^t} + 1} \right) \ge t\) \( \Leftrightarrow {4^t} + {2^t} + 1 \ge {7^t}\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{7}} \right)^t} + {\left( {\frac{2}{7}} \right)^t} + {\left( {\frac{1}{7}} \right)^t} \ge 1\left( 1 \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\left( {\frac{4}{7}} \right)^t} + {\left( {\frac{2}{7}} \right)^t} + {\left( {\frac{1}{7}} \right)^t}\) trên \(\mathbb{R}\)

\(f’\left( t \right) = {\left( {\frac{4}{7}} \right)^t}\ln \left( {\frac{4}{7}} \right) + {\left( {\frac{2}{7}} \right)^t}\ln \left( {\frac{2}{7}} \right) + {\left( {\frac{1}{7}} \right)^t}\ln \left( {\frac{1}{7}} \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Suy ra \(f\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( t \right) \ge f\left( 1 \right)\) \( \Leftrightarrow t \le 1\).

Với \(t \le 1\), \({\log _2}x \le 1\) \( \Leftrightarrow x \le 2\).

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left( {0;2} \right]\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit