Tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 4). Biết rằng số tập hợp con chứa 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con chứa 2 phần tử của A, tìm số k∈{1;2;…;n} sao cho số tập hợp con chứa k phần tử của A là lớn nhất.

Số tập hợp con chứa k  phần tử của A là \(C^k_n\)

Điều kiện: n≥4,n∈N

Như vậy số tập con có chứ 4 phần tử và 2 phần tử của A  lần lượt là: \(C^2_4;C^2_n\) tập hợp.

Theo đề bài ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}
C_n^4 = 20C_n^2 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{4!(n – 4)!}} = 20\frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}} \Leftrightarrow \frac{{n(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4)!}}{{24(n – 4)!}} = \frac{{20n(n – 1)(n – 2)!}}{{2(n – 2)!}}\\
\Leftrightarrow \frac{{(n – 2)(n – 3)}}{{24}} = 10\\
\Leftrightarrow (n – 2)(n – 3) = 240 \Leftrightarrow {n^2} – 5n – 234 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 18\\
n = – 13
\end{array} \right.
\end{array}\)

Để số tập hợp con chứa k phần tử của A là lớn nhất thì:

\(\begin{array}{l}
\to \left\{ \begin{array}{l}
C_{18}^k \ge C_{18}^{k – 1}\\
C_{18}^k \ge C_{18}^{k + 1}
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{18!}}{{k!(18 – k)!}} \ge \frac{{18!}}{{\left( {k – 1} \right)!(19 – k)!}}\\
\frac{{18!}}{{k!(18 – k)!}} \ge \frac{{18!}}{{\left( {k – 1} \right)!(17 – k)!}}
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{k!\left( {k – 1} \right)!(18 – k)!}} \ge \frac{{18!}}{{\left( {k – 1} \right)!(19 – k)!(18 – k)!}}\\
\frac{{18!}}{{k!(18 – k)!(17 – k)!}} \ge \frac{{18!}}{{\left( {k + 1} \right)-7(17 – k)!}}
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{k} \ge \frac{1}{{19 – k}}\\
\frac{1}{{18 – k}} \ge \frac{1}{{k + 1}}
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
19 – k \ge k\\
k + 1 \ge 18 – k
\end{array} \right.\\
\to \frac{{17}}{2} \le k \le \frac{{19}}{2} \to k = 9
\end{array}\)

Vậy tập hợp con chứa 9 phần tử thỏa mãn bài toán.

Chọn B