Thể tích khối đa diện

Đề bài: Cho hình chóp $S.ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của $SB$. Dựng thiết diện với hình chóp qua $M, $song song với $SA,BC$. Chứng minh thiết diện chia khôi chóp thành hai phần bằng nhau. Lời giải Kẻ $MN // SA (N \in AB), MQ// BC (Q\in SC)$Kẻ $NP// BC (P\in AC)\Rightarrow QP […]

Đề bài: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$. Dựng mặt phẳng chứa đường chéo $AC$ của hình vuông $ABCD$ và đi qua trung điểm $M$ của cạnh $B’C’$. Mặt phẳng đó chia hình lập phương thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của $2$ hình đó. Lời giải Mặt phẳng $(P)$ cắt mặt phẳng $A’B’C’D’$ […]

Đề bài: Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ đáy là tam giác vuông $ABC$ tại $A$ và $AB=3a, BC=4a$. Biết rằng mặt phẳng $(SBC)$ vuông góc với $(ABC)$. Giả sử $SB=2a\sqrt{3}$ và $\widehat{SBC}=30^0$.Tìm thể tích hình chóp $S.ABC$. Lời giải Do $(SBC) \bot (ABC)$ và $(SBC) \cap (ABC)=BC$, nên nếu kẻ $SH \bot BC (H\in […]

Đề bài: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$. Gọi $M$ là trung điểm của $AA'$. Chứng minh rằng thiết diện $C'MB$ chia lăng trụ thành hai phần tương đương. Lời giải Trong (ABC) dựng AH $\bot$ BC$V_{M.ABC}=\frac13MA.S_{ABC}=\frac16V_{ABC.A’B’C’}$$V_{M.CBC’}=\frac13d(M,(CBC’)).S_{CBC’}= \frac13AH.S_{CBC’} = \frac13V_{ABC.A’B’C’} $$\Rightarrow V_{ABCMC’}=V_{MABC}+V_{C’MBC}=\frac12V_{ABCA’B’C’}$

Đề bài: Hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân đỉnh $C$ và $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$. Giả sử $SC=a$. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng $(SBC),(ABD)$ sao cho thể tích khối chóp là lớn nhất. Lời giải Ta thấy ngay $\widehat{SCA}=\alpha, SA=a\sin \alpha, AC=a\cos \alpha$.Suy ra: $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}\frac{a^2\cos^2 \alpha}{2}.a\sin \alpha=\frac{a^3}{6}\cos^2 […]