Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất

Đề bài: Cho hàm số $y=-\frac{1}{3}x^2-2x^2+3x $ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta $ của $(C)$ tại điểm uốn và chứng minh rằng $\Delta $ là tiếp tuyến cho hệ số góc nhỏ nhất trong tất cả các tiếp tuyến của $(C)$ Lời giải Dễ thấy điểm uốn của đồ thị là $U\left ( 2;\frac{2}{3}  \right )$. Tại $U$ tiếp tuyến của $(C)$ có hệ số góc $y'(2)=-1$. Tiếp tuyến … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số $y=-\frac{1}{3}x^2-2x^2+3x $ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta $ của $(C)$ tại điểm uốn và chứng minh rằng $\Delta $ là tiếp tuyến cho hệ số góc nhỏ nhất trong tất cả các tiếp tuyến của $(C)$

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:  $y = \sin x + 3\sin 2x$ Lời giải Hàm số đã cho xác định với mọi $x$. Ta có:$y' = \cos x + 6\cos 2x = \cos x + 6({\cos ^2}2x - 1) = 12{\cos ^2}x + \cos x - 6$;$y'=0\Leftrightarrow cosx=\frac{2}{3}, cosx=-\frac{3}{4} $Dễ nhận thấy rằng hàm $sinx$ có chu kỳ $2\pi $, $sin2x$ có chu kỳ $\pi $ nên hàm $y$ có chu kỳ $2\pi $ $ \Rightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:  $y = \sin x + 3\sin 2x$

Đề bài: $\alpha$ là một góc cố định cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :                              $y = tan ^2(x + \alpha ) +tan^2(x - \alpha )$ Lời giải Ta có$y = tan^2(x + \alpha ) + tan^2(x - \alpha ) = \frac{{{{\sin }^2}(x + \alpha )}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}(x + \alpha )}} + \frac{{{{\sin }^2}(x - \alpha )}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}(x - \alpha … [Đọc thêm...] vềĐề: $\alpha$ là một góc cố định cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :                              $y = tan ^2(x + \alpha ) +tan^2(x – \alpha )$

Đề bài: Tìm GTNN của:    $y=\sqrt{ x^2-6x+18}+\sqrt{x^2+2x+2 }$ Lời giải Cần giải chi tiếtDùng tọa độ, đưa về tổng khoảng cách. … [Đọc thêm...] vềĐề: Tìm GTNN của:    $y=\sqrt{ x^2-6x+18}+\sqrt{x^2+2x+2 }$

Đề bài:   Xác định tham số $a,b$ sao cho hàm số $y=\frac{ax+b}{x^2+1}$ đạt giá trị lớn nhất bằng $4$, giá trị nhỏ nhất bằng $-1$ Lời giải  GiảiTập xác định: $D=R$$y_0$ thuộc miền giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm:      $y_0=\frac{ax+b}{x^2+1} \Leftrightarrow y_0x^2-ax+y_0-b=0    (1)$ -  Nếu $y_0=0$ thì $(1) \Leftrightarrow ax=-b$ có nghiệm … [Đọc thêm...] vềĐề:   Xác định tham số $a,b$ sao cho hàm số $y=\frac{ax+b}{x^2+1}$ đạt giá trị lớn nhất bằng $4$, giá trị nhỏ nhất bằng $-1$

Đề bài: Trong các số thực $x, y, z$ thỏa mãn hệ thức \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1\). Hãy tìm x, y, z để biểu thức \(|x + 2y + 3z - 8|\) đạt giá trị lớn nhất. Xác định giá trị đó. Lời giải \(|x + 2y + 3z - 8|\)\( = |\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z - 1} \right)| \le \sqrt … [Đọc thêm...] vềĐề: Trong các số thực $x, y, z$ thỏa mãn hệ thức \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 1\). Hãy tìm x, y, z để biểu thức \(|x + 2y + 3z – 8|\) đạt giá trị lớn nhất. Xác định giá trị đó.

Đề bài: $a$ là một số cho trước. Tìm miền giá trị của hàm số sau:  $y = \frac{\cos3x+ a\sin3x + 1}{\cos3x + 2}$        ($*)$Từ đó suy ra bất đẳng thức:  $\forall x \in R,  \left| {\frac{{\cos3x + a\sin3x + 1}}{{\cos3x + 2}}} \right| \le \frac{{1 + \sqrt {1 + 3a^2} }}{3}$ Lời giải Vì : $cos3x + 2 \geq 1 \Rightarrow D = R$$(*) \Leftrightarrow (y  – 1)cos3x – … [Đọc thêm...] vềĐề: $a$ là một số cho trước. Tìm miền giá trị của hàm số sau:  $y = \frac{\cos3x+ a\sin3x + 1}{\cos3x + 2}$        ($*)$Từ đó suy ra bất đẳng thức:  $\forall x \in R,  \left| {\frac{{\cos3x + a\sin3x + 1}}{{\cos3x + 2}}} \right| \le \frac{{1 + \sqrt {1 + 3a^2} }}{3}$

Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:   $y=x+\sqrt{2-x^2}$ Lời giải Điều kiện $2-x^2\geq 0\Leftrightarrow -\sqrt{2}\leq x \leq \sqrt{2}$Suy ra $D=[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$.Đạo hàm :   $y^'= 1-\frac{x}{\sqrt{2-x^2}}=\frac{\sqrt{2-x^2}-x}{\sqrt{2-x^2}}$,   $y^'=0\Leftrightarrow \sqrt{2-x^2}=x\Leftrightarrow \begin{cases}x\geq 0 \\ 2-x^2=x^2 … [Đọc thêm...] vềĐề: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:   $y=x+\sqrt{2-x^2}$

Đề bài:   Tìm giá trị nhỏ nhất của:    $A=(1+x)(1+\frac{1}{y})(1+\frac{1}{x})$, với $x>0, y>0$ thỏa mãn $x^2+y^2=1$ Lời giải                                       Giải:Khai triển A ta có: $A=(x+\frac{1}{2x})+(y+\frac{1}{2y})+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+2$Theo bất đẳng thức Cô-si:*  $x+\frac{1}{2x}\geq \sqrt{2}      ;     … [Đọc thêm...] vềĐề:   Tìm giá trị nhỏ nhất của:    $A=(1+x)(1+\frac{1}{y})(1+\frac{1}{x})$, với $x>0, y>0$ thỏa mãn $x^2+y^2=1$