Đề: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:  $y = \sin x + 3\sin 2x$

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:  $y = \sin x + 3\sin 2x$

Lời giải

Hàm số đã cho xác định với mọi $x$. Ta có:
$y’ = \cos x + 6\cos 2x = \cos x + 6({\cos ^2}2x – 1) = 12{\cos ^2}x + \cos x – 6$;
$y’=0\Leftrightarrow cosx=\frac{2}{3}, cosx=-\frac{3}{4} $
Dễ nhận thấy rằng hàm $sinx$ có chu kỳ $2\pi $, $sin2x$ có chu kỳ $\pi $ nên hàm $y$ có chu kỳ $2\pi $ $ \Rightarrow $hàm $y$ đạt giá trị lớn nhất chỉ tại những điểm ở đó $x + m = m\sqrt {{x^2} + 1} $.

a)    Với ${\rm{ 2/3, sinx = }} \pm \sqrt {{\rm{1}} – {{{\rm{(2/3)}}}^{\rm{2}}}}  = \pm \sqrt 5 /3$
$ \Rightarrow y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx  +  3sin2x  =  sinx(1 + 6cosx) = }} \pm \frac{{\sqrt {\rm{5}} }}{{\rm{3}}}(1 + 6.\frac{2}{3}) = \pm \frac{{5\sqrt 5 }}{3}$

b)    Với $c{\rm{osx  = – 3/4, sinx =}} \pm \sqrt {{\rm{1 – ( – 3/4}}{{\rm{)}}^{\rm{2}}}}  = \pm \sqrt 7 /4 $
$\Rightarrow y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx (1 +  6cosx)  = }} \pm \frac{{\sqrt {\rm{7}} }}{{\rm{4}}}{\rm{[}}1 + 6.( – \frac{3}{4}){\rm{]}} = \pm \frac{{7\sqrt 7 }}{8}$