Cau 50 de toan 2021

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), một \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M(2;2;2)\) và cắt các tia \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại \(A\), \(B\), \(C\) sao cho mặt cầu tâm \(I(m;n;p)\) ngoại tiếp tứ diện \(OABC\)có thể tích nhỏ nhất. Khi đó giá trị \(2m + n + q\) bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {0;0;5} \right)\), đi qua \(O\) và \(\left( N \right)\) là hình nón ngoại tiếp với \(\left( S \right)\). Biết rằng đáy của \(\left( N \right)\) nằm trong mặt phẳng tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại \(O\). Khi \(\left( N \right)\) có thể tích bé nhất, điểm nào sau đây nằm trên đường tròn đáy của \(\left( N \right)\)?

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 8\) và hai điểm \(A\left( {4;4;3} \right),B\left( {1;1;1} \right).\) Gọi \(\left( {{C_1}} \right)\) là tập hợp các điểm \(M \in \left( S \right)\) để cho \(\left| {MA – 2MB} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng \(\left( {{C_1}} \right)\) là một đường tròn bán kính \({R_1}.\) Tính \({R_1}.\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\,\frac{x}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z + 4}}{2}\,;\,\) \({d_2}:\,\frac{{x + 8}}{2} = \frac{{y – 6}}{1} = \frac{{z – 10}}{{ – 1}}\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng \({d_1}\,;\,{d_2}\) và có bán kính nhỏ nhất. Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là

Trong không gian \(Oxyz\) cho hai điểm \(A\left( {\frac{{5 + \sqrt 3 }}{2};\frac{{7 – \sqrt 3 }}{2};3} \right)\), \(B\left( {\frac{{5 – \sqrt 3 }}{2};\frac{{7 + \sqrt 3 }}{2};3} \right)\) và mặt cầu \((S):{(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 3)^2} = 6\). Xét mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\,\,(a,b,c,d \in \mathbb{Z}\) và \(d <  – 5)\) là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua hai điểm \(A,B\). Gọi \(\left( N \right)\) là hình nón có đỉnh là tâm của mặt cầu \((S)\) và có đường tròn đáy là giao tuyến của \((P)\) và \((S)\). Tính giá trị của \(T = \left| {a + b + c + d} \right|\) khi thiết diện qua trục của hình nón \(\left( N \right)\) có diện tích lớn nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 9\); điểm \(A\left( {2\,;\, – 1\,;\,8} \right)\); mặt phẳng \(\left( P \right):\left( {a + 1} \right)x + \left( {2b – 2} \right)y + \left( { – a + b – 2} \right)z + c = 0\)\(\left( {a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{R}} \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\). Gọi khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) lần lượt là \(\alpha \) và \(\beta \). Giá trị của biểu thức \(T = 2\alpha  – 5\beta \) bằng:

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {(y + 1)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 1\). Xét điểm \(M\) di động trên đường thẳng \(\left( d \right):\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ – 2}}\). Qua \(M\) vẽ đường thẳng cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại 2 điểm \(A,\,B\). Dựng mặt cầu tâm \(M\) bán kính \(MA.MB\). Khi đường tròn giao tuyến của 2 mặt cầu có diện tích nhỏ nhất thì \(M\)có tọa độ \(M\left( {a,b,c} \right)\). Giá trị của \(P =  – a + b + c\) bằng

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {1;\, – 3;\, – 2} \right),\,B\left( {5;\,1;\,0} \right)\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đường kính \(AB\). Trong các hình chóp đều có đỉnh \(A\) nội tiếp trong mặt cầu \(\left( S \right)\), gọi \(A.MNPQ\) là hình chóp có thể tích lớn nhất. Phương trình mặt cầu tâm \(B\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {MNPQ} \right)\) là

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(O\), bán kính \(R = 3\) và \(\left( N \right)\) là một khối nón nội tiếp \(\left( S \right)\), có thể tích \(V\) và có đáy nằm trong mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\). Biết rằng \(\left( \beta  \right)\) song song với \(\left( \alpha  \right):x + 2y + 2z = 0\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) khi \(V\) đạt giá trị lớn nhất.

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 48\). Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng đi qua hai điểm \(A\left( {0;0; – 4} \right)\), \(B\left( {2;0;0} \right)\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\). Khối nón \(\left( N \right)\) có đỉnh là tâm của \(\left( S \right)\), đường tròn đáy là \(\left( C \right)\) có thể tích lớn nhất bằng: