Các dạng hệ phương trình khác

Đề bài: Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\{x^2} + {y^2} = 6 – {m^2}\end{array} \right.$$1$. Giải hệ phương trình khi $m = 1.$$2$. Tìm $m$ để hệ phương trình đã cho có nghiệm. Lời giải $1$.$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\{x^2} + {y^2} = 6 – {m^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x […]

Đề bài: Giải hệ phương trình: \(\begin{cases}x^3-y^3=7 \\ xy(x-y)=2 \end{cases}\) Lời giải GiảiTa thấy \(x=y; y=0;x=0\) không là nghiệm của hệ.Xét $x\neq y\neq 0$ ta có:Chia vế theo vế hai phương trình đã cho ta được:   \(\frac{x^3-y^3}{xy(x-y)}=\frac{7}{2} \Leftrightarrow \frac{x^2+xy+y^2}{xy}=\frac{7}{2}\)\(\Leftrightarrow 2x^2+2xy+2y^2=7xy \Leftrightarrow 2x^2-5xy+2y^2=0\)\(\Leftrightarrow (2x-y)(x-2y)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x-y = 0\\x-2y = 0\end{array} \right.\)* Với \(2x-y=0 \Leftrightarrow y=2x\) […]

Đề bài: Cho hệ: $ \left\{ \begin{array}{l}x^3 – y^3 = m(x-y)\\x + y =  – 1\end{array} \right. $       (*)a. Giải (*) khi $m = 3$b. Định $m$ để hệ có 3 nghiệm  $(x_1,y_1);(x_2,y_2);(x_3,y_3) $  mà  $ x_1,x_2,x_3 $  lập thành một cấp số cộng và trong đó có 2 số mà giá trị tuyệt đối […]

Đề bài: Giải hệ $\left\{ \begin{array}{l} u+v=11\\ u^2-2v+3u=28 \end{array} \right. $ Lời giải Rút $v=11-u$ ở phương trình đầu và thay vào phương trình sau ta được phương trình $u^2-2(11-u)+3u=28\Leftrightarrow u^2+5u-50=0$, suy ra: $u=5$ hoặc  $u=-10$; nghiệm $v$ tương ứng là $v=6,v=21$. Vậy hệ có hai nghiệm là $(5,6)$ và $(-10,21)$. ========= Chuyên mục: Các […]

Đề bài: Giải hệ phương trình:   $\left\{ \begin{array}{l}{lo}{{g}_{y}}{2}{.lo}{{g}_{2}}{x + 1 = 0            (*)}\\{sinx}{.siny = 1 + cosxcosy  (**)}\end{array} \right.$ (với $x+ y < 6)$ Lời giải Điều kiện: $x> 0, y>0, y \neq 1$$(*)     \Leftrightarrow {lo}{{g}_{y}}{x = – 1} \Leftrightarrow  {x = }{{y}^{{ – 1}}} \Leftrightarrow {xy = 1}$   $\begin{array}{l}{(**) } \Leftrightarrow {cosxcosy – sinx}{.siny […]

Đề bài: Giải hệ: $\begin{cases} xyzt+xy+x+y=131\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}=\frac{77}{60} \\ x+y+z+t=14\\ \frac{xy}{zt}=\frac{3}{10} \end{cases}$ Lời giải Phương trình thứ nhất có thể viết : $xy(zt+1)+(x+y)=131$Từ phương trình thứ 4 suy ra : $zt=\frac{10xy}{3}$Từ đó ta được : $\frac{xy(10xy+3)}{3}+(x+y)=131$hay nếu đặt $xy=b, x+y=a:   10b^2+3b+(3a-393)=0     (1)$Từ phương trình thứ hai suy ra: $\frac{x+y}{xy}+\frac{z+t}{zt}=\frac{77}{60}$Từ phương trình thứ ba ta có : $z+t=14-(x+y)$Từ […]

Đề bài: Giải hệ: $\begin{cases} x+y+z=1\\(y-z)^2+(z-x)^2+(x-y)^2=68 \\x(y-z)^2+y(z-x)^2+z(x-y)^2=16\end{cases}$ Lời giải Từ phương trình thứ ba ta có:$y^2x+y^2z+z^2x+z^2y+x^2y+x^2z-6xyz=16$ hay $x(xy+yz+zx)+y(xy+yz+zx)+z(xy+yz+zx)-9xyz=16$;$(xy+yz+zx)(x+y+z)-9xyz=16$    (1)Từ hai phương trình thứ nhất và thứ hai ta có: $-6(xy+yz+zx)=66$ hay $ xy+yz+zx=-11$     (2)Từ (1), (2) suy ra $(-11).1-9xyz=16$ hay $xyz=-3$   (3)Như vậy ta được hệ tương đương: $\begin{cases}x+y+z=1 \\xy+yz+zx=-11 \\xyz=-3 \end{cases}$Kết hợp với phương […]

Đề bài: Giải hệ phương trình: $(I) \left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2+6x+2y=0              (1)\\ x+y+8=0                                   (2) \end{array} \right.$ Lời giải Từ (2) rút ra $y=-(8+x)$. Thế vào (1) ta được:       $\left\{ \begin{array}{l} x^2+(x+8)^2+6x-2(x+8)=0\\ y=-(x+8) \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x^2+20x+48=0            (3)\\ y=-(x+8)                                (4) \end{array} […]

Đề bài: Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\{x^2} + {y^2} = 6 – {m^2}\end{array} \right.$$1$. Giải hệ phương trình khi $m = 1.$$2$. Tìm $m$ để hệ phương trình đã cho có nghiệm. Lời giải $1$.$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\{x^2} + {y^2} = 6 – {m^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x […]

Đề bài: Giải hệ phương trình: $\begin{cases}(x^2+xy)(y+2z)=\frac{1}{8} \\ x^2+y^2+3xy+4xz+2yz=-\frac{3}{4} \\x+y+z=0 \end{cases}$ Lời giải Đặt  $\begin{cases}u=x \\ v=x+y\\w=y+2z \end{cases}$ Hệ $\Leftrightarrow \begin{cases} uvw=\frac{1}{8} \\ uv+vw+wu=-\frac{3}{4} \\u+v+w=0 \end{cases}$ (Chú ý: $x^2+y^2+3xy+4xz+2yz=x(x+y)+(x+y)(y+2z)+$ $\Rightarrow   u,v,w$ là nghiệm phương trình:    $ X^3-\frac{3}{4}X-\frac{1}{8}=0   \Leftrightarrow  4X^3-3X=\frac{1}{2}$ Đặt $X=cos\alpha,\alpha\in[0;\pi]$ PT $\Leftrightarrow 4cos^3\alpha-3cos\alpha=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow cos3\alpha=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \alpha\in ${$\frac{\pi}{9};\frac{5\pi}{9};\frac{7\pi}{9}$} $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = \cos […]