Đề bài: Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\{x^2} + {y^2} = 6 – {m^2}\end{array} \right.$$1$. Giải hệ phương trình khi $m = 1.$$2$. Tìm $m$ để hệ phương trình đã cho có nghiệm.

Lời giải

$1$.$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + y = m\\
{x^2} + {y^2} = 6 – {m^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = m\\
{\left( {x + y} \right)^2} – 2xy = 6 – {m^2}
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = m\\
xy = {m^2} – 3
\end{array} \right.
\end{array}$
$x, y$ là các nghiệm của phương trình:
${t^2} – mt + {m^2} – 3 = 0$
Phương trình này có nghiệm:
${t_{1,2}} = \frac{{m \pm \sqrt {{m^2} – 4({m^2} – 3)} }}{2} = \frac{{m \pm \sqrt {3(4 – {m^2})} }}{2}$
( khi và chỉ khi $4 – {m^2} \ge 0 \Leftrightarrow  – 2 \le m \le 2)$
Vậy:
${\rm{neu: |m| > 2   thi  he  vo  nghiem}}$
${\rm{neu |m| }} \le {\rm{ 2   thi  he  co  nghiem:}}$
$\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{m – \sqrt {3(4 – {m^2})} }}{2}\\
y = \frac{{m + \sqrt {3(4 – {m^2})} }}{2}
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{m + \sqrt {3(4 – {m^2})} }}{2}\\
y=\frac{{m – \sqrt {3(4 – {m^2})} }}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}
{\rm{ \ Dac  biet  khi  m  =  1  thi  he  co  2  nghiem:}}\\
\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x =  – 1\\
y = 2
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y =  – 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}$

=========
Chuyên mục: Các dạng hệ phương trình khác