Đề bài: Giải hệ: $\begin{cases} xyzt+xy+x+y=131\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}=\frac{77}{60} \\ x+y+z+t=14\\ \frac{xy}{zt}=\frac{3}{10} \end{cases}$

Lời giải

Phương trình thứ nhất có thể viết : $xy(zt+1)+(x+y)=131$
Từ phương trình thứ 4 suy ra : $zt=\frac{10xy}{3}$
Từ đó ta được : $\frac{xy(10xy+3)}{3}+(x+y)=131$
hay nếu đặt $xy=b, x+y=a:   10b^2+3b+(3a-393)=0     (1)$
Từ phương trình thứ hai suy ra: $\frac{x+y}{xy}+\frac{z+t}{zt}=\frac{77}{60}$
Từ phương trình thứ ba ta có : $z+t=14-(x+y)$
Từ đó được: $\frac{x+y}{xy}+\frac{14-(x+y)}{\frac{10xy}{3}}=\frac{77}{60}$
Hay  $\frac{a}{b}+ \frac{42-3a}{10b}=\frac{77}{60}$, suy ra: $3a=\frac{11b-36}{2}      (2)$
Thay (2) vào (1) được: $20b^2+17b-822=0 \Leftrightarrow  b_1=6; b_2=-\frac{137}{20}$
Thay vào (2) ta được: $a_1=5; a_2=-\frac{2227}{120}$
Vậy ta phải giải hệ:
1. $\begin{cases}x+y=5 \\ xy=6 \end{cases}$ được $x=2; y=3$ và $x=3; y=2$
Từ đó tìm được $zt=\frac{10xy}{3}=20, z+t=9$ nên $z=4, t=5$ và $z=5, t=4$
2. $\begin{cases}x+y=-\frac{2227}{120} \\ xy=-\frac{137}{20} \end{cases}$
Từ đó tìm được $zt=\frac{10xy}{3}=-\frac{137}{6}, z+t=\frac{3907}{120}$ nên $z,t=\frac{3907\pm \sqrt{16579849}}{240}$

=========
Chuyên mục: Các dạng hệ phương trình khác