Đề bài: Giải hệ phương trình $\begin{cases}6x^2\sqrt{x^3-6x+5}=(x^3+4)(x^2+2x-6)  ( 1) \\ x+\frac{2}{x}\geq 1+\frac{2}{x^2}                                               (2)\end{cases}$.

Lời giải

Do $
\displaystyle x,\frac{2}{x}$ cùng dấu nên từ $(2)$ suy ra:
    $
\displaystyle x+\frac{2}{x}>0\Rightarrow x>0\Rightarrow x^3+4>0\Rightarrow x^2+2x-6>0$
    $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x -1+ \sqrt{7}\end{array} \right.\Leftrightarrow x>-1+\sqrt{7}\Rightarrow \begin{cases}x-1>0 \\ x^2+x-5>0 \end{cases}$.
Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
    $2\sqrt{x^3-6x+5}=2\sqrt{(x-1)(x^2+x-5)}\leq (x-1)+(x^2+x-5)=x^2+2x-6$
   và $
\displaystyle 3x^2=3.\sqrt[3]{\frac{x^3}{2}\frac{x^3}{2}.4}\leq \frac{x^3}{2}+\frac{x^3}{2}+4=x^3+4$.
Suy ra $VT(1)\leq VP(1)$.
Dấu bằng xảy ra khi $x=2$, thỏa mãn $(2)$.
Vậy nghiệm của hệ là $x=2$.

=========
Chuyên mục: Các dạng hệ phương trình khác