Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3\left( {x + 2} \right)\sqrt {x – y} = y\sqrt {x – y} + 3x – y + 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\,\,\,\,\,\,}\\{\sqrt {3x + 1} – \sqrt {5 – y} = – {x^3} + 5{x^2} + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\,\,\,}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3\left( {x + 2} \right)\sqrt {x – y}  = y\sqrt {x – y}  + 3x – y + 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\,\,\,\,\,\,}\\{\sqrt {3x + 1}  – \sqrt {5 – y}  =  – {x^3} + 5{x^2} + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\,\,\,}\end{array}} \right.\)

Lời giải

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x – y \ge 0}\\{5 – y \ge }\\{3x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge y}\\{y \le 5}\\{x \ge  – \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\).

Từ phương trình \(\left( 1 \right)\) ta có:

\(\left( {3x + 6} \right)\sqrt {x – y}  – y\sqrt {x – y}  – \left( {3x – y + 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt {x – y} \left( {3x – y + 6} \right) – \left( {3x – y + 6} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x – y}  – 1} \right)\left( {3x – y + 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {x – y}  – 1 = 0}\\{3x – y + 6 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = x – 1}\\{y = 3x + 6}\end{array}} \right.\)

+ Vì  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \le 5}\\{3x + 6 \ge  – \frac{1}{3}.3 + 6 = 5}\end{array}} \right.\) và \(\left( {x;y} \right) = \left( { – \frac{1}{3};5} \right)\) không phải là nghiệm của hệ nên \(y = 3x + 6\) không thỏa mãn

+ Với \(y = x – 1\) thay vào phương trình (2) ta được:

\(\sqrt {3x + 1}  – \sqrt {6 – x}  =  – {x^3} + 5{x^2} + 3\)\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt {3x + 1}  – 4} \right) + \left( {1 – \sqrt {6 – x} } \right) + {x^2}\left( {x – 5} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{3\left( {x – 5} \right)}}{{\sqrt {3x + 1}  + 4}} + \frac{{x – 5}}{{1 + \sqrt {6 – x} }} + {x^2}\left( {x – 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x – 5} \right)\left( {\frac{3}{{\sqrt {3x + 1}  + 4}} + \frac{1}{{1 + \sqrt {6 – x} }} + {x^2}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x – 5 = 0}\\{\frac{3}{{\sqrt {3x + 1}  + 4}} + \frac{1}{{1 + \sqrt {6 – x} }} + {x^2} = 0\left( {VN} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow x = 5,y = 4\)

Vây hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {5;4} \right)\).