Đề bài: Tìm $a$ để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất $(I) \left\{ \begin{array}{l} 3x-a\sqrt{y^2+1 }=1\\ x+y+\frac{1}{y+\sqrt{y^2+1}}=a^2 \end{array} \right.$

Lời giải

Để ý $\frac{1}{y+\sqrt{y^2+1}}=\sqrt{y^2+1}-y$ nên hệ $(I)$ $\Leftrightarrow $ $(II)$ $\left\{ \begin{array}{l} 3 x-a\sqrt{y^2+1}=1\\ x+\sqrt{y^2+1}=a^2 \end{array} \right.$
Điều kiện cần
Thấy rằng nếu có nghiệm $(x_0,y_0)$ thì hệ cũng có nghiệm $(x_0,-y_0)$.
Bởi vậy điều kiện cần để hẹ có nghiệm duy nhất là $y_0=1$
Thay $y_0=1$ vào $(II)$ có $\left\{ \begin{array}{l} 3x-a=1\\ x+1=a^2 \end{array} \right.\Rightarrow 3a^2-a-4=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a=-1}\\
{a=\frac{4}{3}}
\end{array}} \right.$
Điều kiện đủ
Với $a=-1$ ,hệ $(II)$ trở thành $\left\{ \begin{array}{l} 3x+\sqrt{y^2+1}=1\\ x+\sqrt{y^2+1}=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow x=y=0$
Với $a=\frac{4}{3}$,hệ $(II)$ trở thành $\left\{ \begin{array}{l} 3x-\frac{4}{3}\sqrt{y^2+1}=1\\ x+\sqrt{y^2+1}=\frac{16}{9} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{7}{9}\\ y=0 \end{array} \right.$
hệ có nghiệm duy nhất $x=\frac{7}{9};y=0$
   Vậy tập hợp các giá trị của a tương thích với yêu cầu bài toán là $\left\{ {a=-1;a=\frac{4}{3}} \right\}$

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình vô tỷ