Đề bài: Tìm $a$ để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x^2+3}+\left| {y} \right|=a\\ \sqrt{y^2+5}+|x|=\sqrt{x^2+5}+\sqrt{3}-a \end{array} \right.$

Lời giải

$ \bullet $ Điều kiện cần
Thấy rằng,nếu hệ có nghiệm $(x_0;y_0)$ thì nó cũng có nghiệm $(-x_0;-y_0)$,$(-x_0;y_0),(x_0;-y_0)$.Bởi thế,nghiệm duy nhất của hệ chỉ có thể là $x_0=y_0=0.$Thay vào hệ có $a=\sqrt{3}$.
$\bullet$Điều kiện đủ
Với $a=\sqrt{3}$,hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x^2+3}+|y|=\sqrt{3}                        (1)\\ \sqrt{y^2+5}+|x|=\sqrt{x^2+5}              (2) \end{array} \right.$
Để ý : $\sqrt{x^2+3}+|y|\geq \sqrt{3}$ Dấu đẳng thức có khi $x=y=0$.
Suy ra $(1)$ $\Leftrightarrow x=y=0.$Thấy rằng $x=y=0$ cũng là nghiệm của $(2)$
$\Rightarrow x=y=0$ là nghiệm duy nhất của hệ.
Tóm lại:Tập hợp các giá trị phải tìm của $a$ là $a=\sqrt{3}$

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình vô tỷ