Đề bài: Giải hệ phương trình:  $\begin{cases}(x^2+xy)(y+2z)=\frac{1}{8} \\ x^2+y^2+3xy+4xz+2yz=-\frac{3}{4} \\ x+y+z=0 \end{cases}$

Lời giải

Đặt  $\begin{cases}u=x \\ v=x+y\\w=y+2z \end{cases}$
Hệ $\Leftrightarrow \begin{cases} uvw=\frac{1}{8} \\ uv+vw+wu=-\frac{3}{4} \\u+v+w=0 \end{cases}$
(Chú ý: $x^2+y^2+3xy+4xz+2yz=x(x+y)+(x+y)(y+2z)+$

$\Rightarrow   u,v,w$ là nghiệm phương trình:
   $ X^3-\frac{3}{4}X-\frac{1}{8}=0   \Leftrightarrow  4X^3-3X=\frac{1}{2}$
Đặt $X=cos\alpha,\alpha\in[0;\pi]$
PT $\Leftrightarrow 4cos^3\alpha-3cos\alpha=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow cos3\alpha=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \alpha\in ${$\frac{\pi}{9};\frac{5\pi}{9};\frac{7\pi}{9}$}
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = \cos \frac{\pi}{9}\\X =\cos \frac{5\pi}{9} \\X=\cos \frac{7\pi}{9}\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \begin{cases}u =cos \frac{7\pi}{9}\\v =\cos \frac{5\pi}{9}\\w=\cos \frac{\pi}{9} \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x = \cos \frac{7\pi}{9}\\y = \cos \frac{5\pi}{9}-\cos \frac{7\pi}{9}\\z=\frac{1}{2}(\cos \frac{\pi}{9}-\cos \frac{5\pi}{9}+\cos \frac{7\pi}{9})\end{cases} .$

=========
Chuyên mục: Các dạng hệ phương trình khác