Câu hỏi:
Số giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { – 10;10} \right]\) để hàm số \(y = \frac{{{{\log }_{\frac{1}{3}}}x – 2}}{{{{\log }_3}x – m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\)là
A. \(10\).
B. \(11\).
C. \(12\).
D. \(13\).
Lời giải
Ta có \(y = \frac{{{{\log }_{\frac{1}{3}}}x – 2}}{{{{\log }_3}x – m}} = \frac{{{{\log }_3}x + 2}}{{ – {{\log }_3}x + m}},\forall x \in \left( {0;3} \right)\).
Đặt \(t = {\log _3}x\), ta có \(t’ = \frac{1}{{x\ln 3}} > 0,\forall x \in \left( {0;3} \right)\)\( \Rightarrow \)\(t = {\log _3}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\) .
Với \(x \in \left( {0;3} \right) \Rightarrow t \in \left( { – \infty ;1} \right)\).
Bài toán trở thành tìm số giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { – 10;10} \right]\) để hàm số \(y = \frac{{t + 2}}{{ – t + m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { – \infty ;1} \right)\).
Ta có \(y’ = \frac{{m + 2}}{{{{\left( { – t + m} \right)}^2}}}\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { – \infty ;1} \right)\)
\( \Leftrightarrow y’ > 0,\forall t \in \left( { – \infty ;1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 > 0\\m \notin \left( { – \infty ;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > – 2\\m \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 1.\)
Vậy \(m \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10} \right\}\), suy ra có \(10\) giá trị nguyên của tham số \(m\).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit
Trả lời