Quan sát một đàn ong trong 20 tuần, người ta ước lượng được số lượng ong trong đàn bởi công thức $P\left( t \right)=\dfrac{20000}{1+1000{{e}^{-t}}}$, trong đó $t$ là thời gian tính theo tuần kể từ khi bắt đầu quan sát, $0\le t\le 20$

Quan sát một đàn ong trong 20 tuần, người ta ước lượng được số lượng ong trong đàn bởi công thức $P\left( t \right)=\dfrac{20000}{1+1000{{e}^{-t}}}$, trong đó $t$ là thời gian tính theo tuần kể từ khi bắt đầu quan sát, $0\le t\le 20$. Tại thời điểm nào thì số lượng ong của đàn tăng nhanh nhất (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của tuần)?
Đáp án: 7

Lời giải: Tốc độ thay đổi số lượng ong của đàn theo thời gian $t$ là $T\left( t \right)={P}’\left( t \right)={{2.10}^{7}}\cdot \dfrac{{{e}^{-t}}}{{{\left( 1+1000{{e}^{-t}} \right)}^{2}}}$.
Ta có:
$\begin{array}{*{35}{r}} {T}’\left( t \right) =2\cdot {{10}^{7}}\cdot \dfrac{-{{e}^{-t}}\cdot {{\left( 1+1000{{e}^{-t}} \right)}^{2}}-{{e}^{-t}}\cdot 2\cdot \left( 1+1000{{e}^{-t}} \right)\cdot \left( -1000{{e}^{-t}} \right)}{{{\left( 1+1000{{e}^{-t}} \right)}^{4}}} \\ {} ={{2.10}^{7}}\cdot \dfrac{{{e}^{-t}}\left( 1000{{e}^{-t}}-1 \right)}{{{\left( 1+1000{{e}^{-t}} \right)}^{3}}}=2\cdot {{10}^{7}}\cdot \dfrac{{{e}^{-2t}}\left( 1000-{{e}^{t}} \right)}{{{\left( 1+1000{{e}^{-t}} \right)}^{3}}} \end{array}$
${T}’\left( t \right)=0\Leftrightarrow 1000-{{e}^{t}}=0\Leftrightarrow t=\text{ln}1000$.
Bảng xét dấu của đạo hàm:

Từ đó, $T\left( t \right)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=\text{ln}1000\approx 7$.
Vậy đàn ong tăng nhanh nhất tại thời điểm khoảng $t=7$ tuần.