Bạn Hoa thường đi bơi ở hồ Sky Garden cạnh nhà, hồ bơi có thiết kế là một hình chữ nhật với chiều dài $25\,\,\text{m,}$ chiều rộng $15,5\,\,\text{m}$ và bên cạnh đó là một hình bán nguyệt đường kính $10\,\,\text{m}\text{

Bạn Hoa thường đi bơi ở hồ Sky Garden cạnh nhà, hồ bơi có thiết kế là một hình chữ nhật với chiều dài $25\,\,\text{m,}$ chiều rộng $15,5\,\,\text{m}$ và bên cạnh đó là một hình bán nguyệt đường kính $10\,\,\text{m}\text{.}$ Trong một lần bể bơi vắng người nên Hoa đã thực hiện một chu trình là bơi theo đoạn thẳng $AC$ rồi bơi tiếp đoạn thẳng $CM,$ với $M$ là một vị trí bất kỳ trên hình bán nguyệt. Ngay sau đó bạn đi bộ theo một hướng qua điểm $D$ dọc bờ của hồ bơi để quay lại vị trí $A$ và kết thúc chu trình. (tham khảo hình vẽ).

Biết rằng vận tốc bơi của Hoa là $2,4\,\,\text{km/h, }$vận tốc đi bộ là $4,8\,\,\text{km/h}$ và tốc độ bơi, vận tốc đi bộ không thay đổi trong một chu trình. Hỏi thời gian chậm nhất để Hoa thực hiện xong chu trình trên là bao nhiêu phút? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Lời giải

Đáp số: $1,4$phút.

Đổi $2,4\,\,\text{km/h}\,\,\text{=}\,\frac{2}{3}\,\,\text{m/s;}\,\,\,4,8\,\,\text{km/h}\,\,\text{=}\,\frac{4}{3}\,\,\text{m/s}\text{.}$

Quãng đường Hoa đi hết một chu trình là $AC+CM+\overset\frown{MD}+DE+EA.$

Tổng thời gian Hoa thực hiện một chu trình là $T=\frac{AC+CM}{\frac{2}{3}}+\frac{\overset\frown{MD}+DE+EA}{\frac{4}{3}}.$

Do $AC,\,\,DE,\,\,EA$ không đổi nên ${{T}_{\max }}$ khi $\frac{CM}{\frac{2}{3}}+\frac{\overset\frown{MD}}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{2}CM+\frac{3}{4}\overset\frown{MD}$ đạt giá trị lớn nhất.

Đặt $\widehat{MCD}=\alpha ,\,\,\,\left( 0<\alpha <\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \widehat{MOD}=2\alpha .$

Suy ra $CM=10\cos \alpha ,\,\,\overset\frown{MD}=10\alpha \Rightarrow \frac{3}{2}CM+\frac{3}{4}\overset\frown{MD}=15\cos \alpha +\frac{15}{2}\alpha .$

Xét hàm số $f\left( \alpha \right)=15\cos \alpha +\frac{15}{2}\alpha ,\,\,\left( 0<\alpha <\frac{\pi }{2} \right)$

Ta có ${f}’\left( \alpha \right)=-15\sin \alpha +\frac{15}{2},\,\,{f}’\left( \alpha \right)=0\Leftrightarrow -15\sin \alpha +\frac{15}{2}=0\Leftrightarrow \alpha =\frac{\pi }{6}\in \left( 0;\,\,\frac{\pi }{2} \right).\,$

Lập bảng biến thiên của hàm số $f\left( \alpha \right)$ trên khoảng $\left( 0;\,\,\frac{\pi }{2} \right),$ ta có $\underset{\alpha \in \left( 0;\,\,\frac{\pi }{2} \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( \alpha \right)=f\left( \frac{\pi }{6} \right).$

Vậy ${{T}_{\max }}=\frac{3\sqrt{{{25}^{2}}+15,{{5}^{2}}}}{2}+\frac{15}{2}\left( \sqrt{3}+\frac{\pi }{6} \right)+\frac{3\left( 15+15,5 \right)}{4}\approx 83,9$ giây$\approx 1,4$ phút.