Ông An dự định sử dụng hết $8{{m}^{2}}$ kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng

Ông An dự định sử dụng hết $8{{m}^{2}}$ kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Hỏi ông An có thể làm được cái bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu mét khối? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Đáp án: 2,05

Lời giải: Gọi chiều rộng là $x$ ( $x{>}0$ ), đơn vị $m$
Chiều dài là: $2x$; chiều cao là $h$
Khi đó ta có: $2\left( x+2x \right).h+2{{x}^{2}}=8\Rightarrow h=\dfrac{4-{{x}^{2}}}{3x}$
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của: $f\left( x \right)=2{{x}^{2}}.\dfrac{4-{{x}^{2}}}{3x}=\dfrac{2}{3}\left( 4x-{{x}^{3}} \right)$ với $0{<}x{
${f}’\left( x \right)=\dfrac{2}{3}\left( 4-3{{x}^{2}} \right);{f}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
$\Rightarrow \max\limits_{\left( 0;2 \right)} f\left( x \right)=f\left( \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right)=\dfrac{32\sqrt{3}}{27}\approx 2,05$
Vậy dung tích lớn nhất của bể là $2,05{{m}^{3}}$