Một sợi dây kim loại dài 120cm được cắt thành hai đoạn

Một sợi dây kim loại dài 120cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất được uốn thành hình vuông, đoạn dây thứ hai được uốn thành vòng tròn.

Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất là ?
Đáp án: 504

Lời giải: Gọi độ dài là của đoạn dây thứ hai là $x$ cm.
Khi đó, độ dài của đoạn dây thứ nhất là $\left( 120-x \right)$ cm $\left( 0{<}x{
Khi đó cạnh hình vuông là $\dfrac{120-x}{4}\Rightarrow$ diện tích của hình vuông bằng ${{\left( \dfrac{120-x}{4} \right)}^{2}}$
Bán kính hình tròn là $\dfrac{x}{2\pi }\Rightarrow$ diện tích của hình tròn bằng $\pi {{\left( \dfrac{x}{2\pi } \right)}^{2}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{4\pi }$.
Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn:
$S\left( x \right)={{\left( \dfrac{120-x}{4} \right)}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{4\pi }=\left( \dfrac{1}{4\pi }+\dfrac{1}{16} \right){{x}^{2}}-15x+900$, $\left( 0{<}x{
Ta có $S\left( x \right)$ là một hàm số bậc hai, đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=\dfrac{120\pi }{4+\pi }\in \left( 0;120 \right)$.
Vậy $\min S\left( x \right)=S\left( \dfrac{120\pi }{4+\pi } \right)\approx 504c{{m}^{2}}$.