Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích $V = 1370$ cm$^3$

Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích $V = 1370$ cm$^3$. Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá $1{,}7$ nghìn đồng/cm$^2$, trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá $1{,}0$ nghìn đồng/cm$^2$. Chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất gần bằng bao nhiêu nghìn đồng?
Đáp án: 815

Lời giải: Gọi $r$ là bán kính đáy và $h$ là chiều cao của bình. Ta có:
\begin{align*}
V &= \pi r^2 h = 1370 cm^3 \Rightarrow h = \frac{1370}{\pi r^2}
\end{align*}
Diện tích mặt trên và mặt dưới của bình là $2\pi r^2$. Diện tích mặt bên của bình là $2\pi rh$.
Chi phí để làm bình là:
\begin{align*}
C &= 1{,}7 \cdot 2\pi r^2 + 1{,}0 \cdot 2\pi rh
&= 2\cdot1{,}7\pi r^2 + 1{,}0 \cdot 2\pi r \left(\frac{1370}{\pi r^2}\right)
&= 2\cdot1{,}7\pi r^2 + 1{,}0 \cdot \frac{2\cdot 1370}{r}
\end{align*}
Đạo hàm của $C$ theo $r$ là:
$C'(r) = 4\cdot1{,}7\cdot \pi r – \frac{1{,}0 \cdot 2\cdot 1370}{r^2}.$
Giải $C'(r) = 0$:
\begin{align*}
4\cdot1{,}7\cdot \pi r – \frac{2\cdot 1{,}0\cdot 1370}{r^2} &= 0
4\cdot1{,}7\cdot \pi r^3 & = 2\cdot 1{,}0\cdot 1370
r^3 &= \frac{2\cdot1{,}0\cdot 1370}{4\cdot1{,}7\cdot\pi}
r &\approx 5{,}0 \text{cm}
\end{align*}
Lập bảng biến thiên

Thay $r$ vào $h = \frac{1370}{\pi r^2}$:
\begin{align*}
h &= \frac{1370}{\pi (5{,}0)^2} \approx 17{,}1 \text{cm}
\end{align*}
Vậy, chi phí sẽ thấp nhất bằng $C \approx 815$ (nghìn đồng)