Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được$x$mét vải lụa$(1\le x\le 18)$

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được$x$mét vải lụa$(1\le x\le 18)$. Tổng chi phí sản xuất$x$mét vải lụa (tính bằng nghìn đồng) cho bởi hàm chi phí:
$C(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-20x+500.$Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi$B(x)$là số tiền bán được và$L(x)$là lợi nhuận thu được khi bán$x$mét vải lụa. Hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa. Hãy tính lợi nhuận tối đa đó.
Đáp án: 1200

Lời giải: Khi bán$x$mét vải lụa:
– Số tiền thu được là:$B(x)=220x$(nghìn đồng).
– Lợi nhuận thu được là:$L(x)=B(x)-C(x)=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+240x-500$(nghìn đồng).
Hàm số$L(x)$xác định trên$\left[ 1;18 \right]$.
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
– Đạo hàm${L}’\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+6x+240;{L}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=10$hoặc$x=-8$(loại).
– Trên khoảng$\left( 1;10 \right),{L}'(x){>}0$nên hàm số$L(x)$đồng biến trên khoảng này.
– Trên khoảng$\left( 10;18 \right),{L}'(x){
+ Cực trị: Hàm số$L(x)$đạt cực đại tại$x=10$và${{L}_{C}}=L(10)=1200$.
+ Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy khi$x=10$ thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là 1200. Như vậy, hộ làm nghề dệt cần sản xuất và bán ra mỗi ngày 10 mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa. Lợi nhuận tối đa này là 1200 nghìn đồng.