Một gia đình đan lưới đánh cá, mỗi ngày đan được $x$ mét lưới $(1\le x\le 18)$

Một gia đình đan lưới đánh cá, mỗi ngày đan được $x$ mét lưới $(1\le x\le 18)$. Tổng chi phí sản xuất $x$ mét lưới, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí:

$C(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-20x+500$.

Giả sử gia đình làm nghề đan lưới bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá $220$ nghìn đồng/mét.

Gọi $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét lưới.

Hỏi lợi nhuận tối đa của gia đình đan lưới trong một ngày (đơn vị tính nghìn đồng)?

Đáp án: 1200.

Lời giải

Số tiền thu về khi bán $x$ mét lưới là: $220x$.

Lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét lưới là:

$L(x)=220x-({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-20x+500)=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+240x-500$

Xét hàm số $L(x)=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+240x-500$ với $x\in [1;18]$

${L}'(x)=-3{{x}^{2}}+6x+240$; ${L}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

& x=10\in [1;18] \\

& x=-8\notin [1;18] \\

\end{align} \right.$

Bảng biến thiên

Vậy gia đình đan lưới trong một ngày thu được lợi nhuận tối đa là $1200$ nghìn đồng khi đan $10$ mét lưới trong một ngày.