Một công ty nhận sản xuất 400

Một công ty nhận sản xuất 400.000 huy chương bạc nhân ngày kỷ niệm Hội khỏe phù đổng toàn quốc. Công ty sở hữu 20 máy, mỗi máy có thể sản xuất 200 huy chương/giờ. Chi phí lắp đặt máy để sản xuất huy chương là 80 triệu đồng/máy và tổng chi phí vận hành là 5,76 triệu đồng/giờ. Hãy biểu diễn chi phí sản xuât 400.000 huy chương bằng một hàm theo số máy đã dùng. Hãy ước tính số máy mà công ty nên dùng để chi phí thấp nhất.
Đáp án: 12

Lời giải: Gọi $x$ $\left( 1\le x\le 20,x\in \mathbb{N} \right)$ là số máy sử dụng và $C\left( x \right)$ là hàm tổng chi phí sản xuất tương ứng.
Chi phí lắp đặt các máy là $80x$
Chi phí vận hành các máy là $\dfrac{400000}{200x}.5,76$
Tổng chi phí = Chi phí lắp đặt + Chi phí vận hành $\Rightarrow C\left( x \right)=80x+\dfrac{11520}{x}$
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $C\left( x \right)$ với $x\in \left[ 1;20 \right]$
Ta có $C’\left( x \right)=80-\dfrac{11520}{{{x}^{2}}}\Rightarrow C’\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=12\left( tm \right) \\ x=-12\left( ktm \right) \end{array} \right.$
Đồng thời $\left\{ \begin{array}{l} C\left( 1 \right)=11600 \\ C\left( 20 \right)=2176 \\ C\left( 12 \right)=1920 \end{array} \right.\Rightarrow \max\limits_{x\in \left[ 1;20 \right]}C\left( x \right)=C\left( 12 \right)=1920\Leftrightarrow x=12$
Vậy công ty nên sử dụng 12 máy để sản xuất thì tổng chi phí sẽ nhỏ nhất.