Một công ty muốn làm đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo

Một công ty muốn làm đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6km. Giá thành để xây đường ống trên bờ là 50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km để xây dưới nước. B’ là điểm trên bờ sao cho BB’ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9km. Vị trí C trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo hướng ACB thì số tiền ít nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng:
Đáp án: 6,5

Lời giải: Trả lời: $6,5$
Ta đặt: $B’C=x\left( km \right),\left( 0\le x\le 9 \right)$
Ta có:
$BC=\sqrt{B'{{B}^{2}}+B'{{C}^{2}}}=\sqrt{36+{{x}^{2}}},AC=9-x$
Gọi F(x) là hàm chi phí xây dựng đường ống nước từ ACB
Ta có: $F\left( x \right)=130.000.\sqrt{36+{{x}^{2}}}+50.000\left( 9-x \right)\left( USD \right)$
Câu toán trở thành tìm x sao cho F(x) đạt GTNN.
$\begin{array}{l} F’\left( x \right)=\dfrac{130.000}{\sqrt{36+{{x}^{2}}}}x-50.000. \\ F’\left( x \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{130.000}{\sqrt{36+{{x}^{2}}}}x-50.000=0\Leftrightarrow 13x=5\sqrt{36+{{x}^{2}}} \\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{25}{4}\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}=2,5 \end{array}$
Vì F(x) là hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;9 \right]$ nên ta có:
$F\left( 0 \right)=1.230.000,F\left( 9 \right)=1.406.000,F\left( \dfrac{5}{2} \right)=1.170.000$
Vậy chi phí nhỏ nhất khi C cách A khoảng bằng 9km-2,5km=6,5km.