Một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích bằng$48$và chiều dài gấp đôi chiều rộng

Một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích bằng$48$và chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chất liệu làm đáy và$4$mặt bên của hộp có giá thành gấp ba lần giá thành của chất liệu làm nắp hộp. Gọi$h$là chiều cao của hộp để giá thành của hộp là thấp nhất. Biết$h=\dfrac{m}{n}$với$m$,$n$là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tổng$m+n$bằng bao nhiêu?
Đáp án: 11

Lời giải: Gọi chiều dài, chiều rộng của hộp là$2x$và$x$ $(x{>}0)$.
Khi đó, ta có thể tích của cái hộp là:$V=2{{x}^{2}}.h\Rightarrow 2{{x}^{2}}.h=48\Leftrightarrow {{x}^{2}}.h=24$
Do giá thành làm đáy và mặt bên hộp là$3$, giá thành làm nắp hộp là$1$nên giá thành làm hộp là
$L=3\left( 2{{x}^{2}}+2xh+4xh \right)+2{{x}^{2}}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm ta được:
$L=8{{x}^{2}}+9xh+9xh\ge$ $3\sqrt[3]{8{{x}^{2}}.9xh.9xh}$ $=3\sqrt[3]{648{{\left( {{x}^{2}}h \right)}^{2}}}=216$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:$\left\{ \begin{array}{l} 8{{x}^{2}}=9xh \\ {{x}^{2}}h=24 \end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{9h}{8} \\ \dfrac{{{9}^{2}}}{{{8}^{2}}}.{{h}^{3}}=24 \end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=3 \\ h=\dfrac{8}{3} \end{array} \right.$
Vậy$m=8$,$n=3$và$m+n=11$.