Hình cho thấy một mặt bằng đường đua bao gồm hai cạnh của một hình chữ nhật và hai nửa đường tròn

Hình cho thấy một mặt bằng đường đua bao gồm hai cạnh của một hình chữ nhật và hai nửa đường tròn. Ngoài ra còn cho vị trí ${P}$ của một khán giả đang xem đua từ trên nóc xe của mình. Hãy tìm điểm ${Q}$ trên đường đua sao cho khoảng cách từ ${P}$ đến đường đua là nhỏ nhất. Tính khoảng cách giữa hai điểm đó.

Lời giải

Rõ ràng điểm cần tìm phải nằm trên cung nửa đường tròn ở góc dưới bên trái của đường đua. Chúng ta thiết lập hệ tọa độ như ở Hình 8, với tâm của hình tròn ở gốc tọa độ và bán kính bằng 1.

Phương trình của đường tròn là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$

Do chỉ xét nửa dưới bên trái, tức ${x \leq 0}$ và ${y \leq 0}$, ta giải được $y=-\sqrt{1-{{x}^{2}}},\quad -1\le x\le 0$(1)

Gọi ${D}$ là khoảng cách giữa ${P\left(-2,-\frac{3}{2}\right)}$ và một điểm ${Q(x, y)}$ trên cung.

Áp dụng công thức khoảng cách, $D=\sqrt{{{(x-(-2))}^{2}}+{{\left( y-\left( -\frac{3}{2} \right) \right)}^{2}}}=\sqrt{{{(x+2)}^{2}}+{{\left( y+\frac{3}{2} \right)}^{2}}}$

Do đó ${{D}^{2}}={{(x+2)}^{2}}+{{\left( y+\frac{3}{2} \right)}^{2}}={{x}^{2}}+4x+4+{{y}^{2}}+3y+\frac{9}{4}$(2)

Vì ${D}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi ${D^2}$ nhỏ nhất, ta sẽ đi tìm cực tiểu của ${D^2}$.

Thay ${y}$ từ (1) vào (2): ${{D}^{2}}={{x}^{2}}+4x+4+\left( 1-{{x}^{2}} \right)-3\sqrt{1-{{x}^{2}}}+\frac{9}{4}=4x-3\sqrt{1-{{x}^{2}}}+\frac{29}{4}$

Vậy bài toán tương đương với việc tìm ${x \in[-1,0]}$ để hàm $f(x)=4x-3\sqrt{1-{{x}^{2}}}+\frac{29}{4}$

nhận giá trị nhỏ nhất.

– Tính đạo hàm:

${{f}^{\prime }}(x)={{\left[ 4x-3{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{1/2}}+\frac{29}{4} \right]}^{\prime }}=4-3\cdot \frac{1}{2}{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{-1/2}}\cdot (-2x)=4+\frac{3x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$

– Giải ${f^{\prime}(x)=0}$: $4+\frac{3x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow 3x=-4\sqrt{1-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow 9{{x}^{2}}=16\left( 1-{{x}^{2}} \right)\Leftrightarrow 25{{x}^{2}}=16$

cho ${x= \pm \frac{4}{5}}$. Trong đó chỉ ${x=-\frac{4}{5}}$ nằm trong ${[-1,0]}$.

So sánh giá trị:

Như vậy ${f}$ nhỏ nhất bằng 2.25 tại ${x=-\frac{4}{5}}$. Từ (7) ta có $y=-\sqrt{1-{{\left( -\frac{4}{5} \right)}^{2}}}=-\frac{3}{5}$

Do đó điểm cần tìm là $Q\left( -\frac{4}{5},-\frac{3}{5} \right).$

Khoảng cách từ ${P}$ đến ${Q}$ là $D=\sqrt{f\left( -\frac{4}{5} \right)}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$ hay ${1,5({~km})}$.