Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S. Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 45.

Số phần tử của không gian mẫu \(\left| \Omega \right| = A_{10}^8 – A_9^7.\)

Gọi A là biến cố chọn được số chia hết cho 45. Gọi \(B = \left\{ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} \right\}\). Số chia hết cho 45 khi và chỉ khi số đó chia hết cho 9 và chia hết cho 5. Do \(0 + 1 + 2 + … + 9 = 45 \vdots 9\) nên ta có các bộ số mà tổng chia hết cho 9 là: \(B\backslash \left\{ {0,9} \right\};B\backslash \left\{ {1,8} \right\};B\backslash \left\{ {2,7} \right\};B\backslash \left\{ {3,6} \right\};B\backslash \left\{ {4,5} \right\}\)

TH1: Số có 8 chữ số lấy từ tập \(B\backslash \left\{ {0,9} \right\}\) có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} \) và chia hết cho 5 nên \({a_8} = 5\), suy ra có 7! số

TH2: Số có 8 chữ số lấy từ tập \(B\backslash \left\{ {4,5} \right\}\)có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} \) và chia hết cho 5 nên \({a_8} = 0\), suy ra có 7! số

TH3 :Số có 8 chữ số lấy từ tập \(B\backslash \left\{ {1,8} \right\}\) có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} \) và chia hết cho 5 nên có 2 trường hợp :

* \({a_8} = 0\) có 7! số.

* \({a_8} = 5\) có 6.6! số.

Suy ra trong trường hợp này có \(7! + 6.6!\) số. Tương tự các trường hợp \(B\backslash \left\{ {2,7} \right\},B\backslash \left\{ {3,6} \right\}\) mỗi trường hợp có 7! + 6.6! số.

Số kết quả thuận lợp cho biến cố A là \(\left| {{\Omega _A}} \right| = 2.7! + 3.\left( {7! + 6.6!} \right) = 38160.\)

Vậy xác suất biến cố A là \(p\left( A \right) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \frac{{38160}}{{A_{10}^8 – A_9^7}} = \frac{{53}}{{2268}}.\)