. Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình \(\left( {x – 1} \right){\log _3}x = \frac{{x + 1}}{2}\). Tính tổng các phần tử của \(S\).

Câu hỏi:

. Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình \(\left( {x – 1} \right){\log _3}x = \frac{{x + 1}}{2}\). Tính tổng các phần tử của \(S\).

A. \(\frac{1}{3}\).

B. \(\frac{{10}}{3}\).

C. \(\frac{{13}}{3}\).

D. \(3\).

Lời giải

Điều kiện: \(x > 0\).

Nhận xét: \(x = 1\) không là nghiệm của phương trình

Với \(x \ne 1\), ta có \({\log _3}x – \frac{{x + 1}}{{2\left( {x – 1} \right)}} = 0\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\log _3}x – \frac{{x + 1}}{{2\left( {x – 1} \right)}}\) trên tập xác định.

Ta có \(f’\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln 3}} + \frac{1}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} > 0\) với \(\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\bcancel{{}}\left\{ 1 \right\}\)

Vậy ta có bảng biến thiên của \(f\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\bcancel{{}}\left\{ 1 \right\}\)

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(f\left( x \right) = 0\) có đúng hai nghiệm

Mặt khác: \(x = 3,\,x = \frac{1}{3}\) là nghiệm của phương trình.

Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ {3;\,\frac{1}{3}} \right\}\).

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit