Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Gọi \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = \sqrt x \), trục \(Ox\) và đường thẳng \(x = 9\). Cho điểm \(M\) thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(A\left( {9;0} \right)\). Gọi \({V_1}\) là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi hình phẳng \(\left( H \right)\) quay quanh trục \(Ox\), \({V_2}\) là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi tam giác \(OMA\) quay quanh trục \(Ox\). Biết \({V_1} = 2{V_2}\).
Tính diện tích \(S\) phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(OM\).
A. \(S = 3\).
B. \(S = \frac{{27\sqrt 3 }}{{16}}\).
C. \(S = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
D. \(S = \frac{4}{3}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Theo bài ra ta có \({V_1} = \int\limits_0^9 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}{\rm{d}}x} = \frac{{81\pi }}{2}\).
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên trục \(Ox\), đặt \(OH = m\) (với \(0 < m < 9\)). Khi đó \(M\left( {m;\sqrt m } \right)\), \(MH = \sqrt m ,\,AH = 9 – m\).
Suy ra \({V_2} = \frac{1}{3}\pi .M{H^2}.OH + \frac{1}{3}\pi .M{H^2}.AH = \frac{1}{3}\pi .M{H^2}.OA = 3m\pi \).
Theo giải thiết \({V_1} = 2{V_2}\) nên \(\frac{{81\pi }}{2} = 6m\pi \Leftrightarrow m = \frac{{27}}{4}\). Do đó \(M\left( {\frac{{27}}{4};\frac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(OM\) là \(y = \frac{{2\sqrt 3 }}{9}x\).
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(OM\) là
\(S = \int\limits_0^{\frac{{27}}{4}} {\left( {\sqrt x – \frac{{2\sqrt 3 }}{9}x} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\frac{2}{3}x\sqrt x – \frac{{\sqrt 3 }}{9}{x^2}} \right)} \right|_0^{\frac{{27}}{4}} = \frac{{27\sqrt 3 }}{{16}}\).
Trả lời