Gọi $F,K$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $NQ$ và $PM$ của tứ diện $MNPQ$

Bài toán gốc

Gọi $F,K$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $NQ$ và $PM$ của tứ diện $MNPQ$. Gọi $E$ là trung điểm đoạn $FK$ và $H$ là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của $k$ thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: $\overrightarrow{EN}+(-4k+5)\overrightarrow{EP}+\overrightarrow{EQ}+\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{0}$
A. $4$ B. $2$ C. $1$ D. $-2$
💡 Lời giải: Ta chứng minh được $\overrightarrow{EN}+\overrightarrow{EP}+\overrightarrow{EQ}+\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{0}$ nên $-4k+5=1\Leftrightarrow k=1$

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng toán xác định hệ số $k$ trong đẳng thức vectơ liên quan đến tứ diện. Điểm $E$ (hoặc các điểm tương tự như $O, G, K, R$) được xác định là trung điểm của đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh đối diện của tứ diện. Điểm này có tính chất đặc biệt là tổng các vectơ từ nó đến bốn đỉnh của tứ diện bằng vectơ không: $\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{0}$ (với $A, B, C, D$ là các đỉnh tứ diện). Phương pháp giải là áp dụng tính chất này và đồng nhất hệ số của các vectơ trong đẳng thức đã cho để tìm $k$. Trong bài toán gốc, ta có $\overrightarrow{EN} + \overrightarrow{EP} + \overrightarrow{EQ} + \overrightarrow{EM} = \overrightarrow{0}$, nên hệ số của $\overrightarrow{EP}$ phải bằng 1, tức là $-4k+5=1$.