Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 + \cos x} \)là.

Câu hỏi:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 + \cos x} \)là.

A. \({y_{\min }} = 4 + \sqrt 2 \).

B. \({y_{\min }} = 4 – \sqrt 2 \).

C. \({y_{\min }} = \sqrt 2 \).

D. \({y_{\min }} = 1\).

Lời giải

Chọn D

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Nhận xét: \(1 + \sin x \ge 0,1 + \cos x \ge 0,y > 0\).

Do đó \({y^2} = \sin x + \cos x + 2 + 2\sqrt {\sin x + \cos x + \sin x.\cos x + 1} \).

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right), – \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 \).

\( \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}\).

Khi đó bài toán quy vê tìm GTNN \({y_{\min }}\) của hàm số:

\(f\left( t \right) = {y^2} = t + 2 + 2\sqrt {\frac{1}{2}\left( {{t^2} + 2t + 1} \right)} = t + 2 + \sqrt 2 \left| {t + 1} \right|\)

\( = \left\{ \begin{array}{l}\left( {1 – \sqrt 2 } \right)t + 2 – \sqrt 2 ,\;khi – \sqrt 2 \le t \le – 1\\\left( {1 + \sqrt 2 } \right)t + 2 + \sqrt 2 ,\;khi – 1 \le t \le \sqrt 2 \end{array} \right.\).

\(f’\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}\left( {1 – \sqrt 2 } \right) < 0,\;khi – \sqrt 2 < t < – 1\\\left( {1 + \sqrt 2 } \right) > 0,\;khi – 1 < t < \sqrt 2 \end{array} \right.\).

Bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1.

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số