Đồ thị $(C):y=\dfrac{-3x-1}{-x+5}$ và $d:y=5x-10$ cắt nhau tại hai điểm có hoành độ là $x_1,x_2$. Giá trị $x_1x_2$ bằng

Bài toán gốc

Đồ thị $(C):y=\dfrac{-3x-1}{-x+5}$ và $d:y=5x-10$ cắt nhau tại hai điểm có hoành độ là $x_1,x_2$. Giá trị $x_1x_2$ bằng

A. $\dfrac{46}{5}$.B. $10$.C. $\dfrac{49}{5}$.D. $\dfrac{51}{5}$.

Lời giải: $5x^2-38x+49=0$

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán là tìm mối liên hệ giữa các hoành độ giao điểm ($x_1, x_2$) của đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất ($y = \dfrac{ax+b}{cx+d}$) và đường thẳng ($y = mx+n$). Phương pháp giải: Lập phương trình hoành độ giao điểm bằng cách cho hai biểu thức bằng nhau. Sau khi quy đồng và khử mẫu (với điều kiện mẫu số khác 0), ta thu được một phương trình bậc hai $Ax^2+Bx+C=0$. Các giá trị $x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình này. Sử dụng định lý Viète để tính tổng ($x_1+x_2 = -B/A$) hoặc tích ($x_1x_2 = C/A$) của các nghiệm.

Bài toán tương tự

1. Bài toán 1: Đồ thị $(C): y = \dfrac{x+3}{x-2}$ và đường thẳng $d: y = 2x-1$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ là $x_1, x_2$. Giá trị của tích $x_1x_2$ là: A. $2$ B. $1$ C. $-\dfrac{1}{2}$ D. $-2$. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{x+3}{x-2} = 2x-1 \implies x+3 = (2x-1)(x-2) \implies 2x^2 – 6x – 1 = 0$. Theo Viète, $x_1x_2 = \dfrac{-1}{2}$. Đáp án đúng: C.2. Bài toán 2: Gọi $x_1, x_2$ là hoành độ các giao điểm của đồ thị $(C): y = \dfrac{2x+7}{x+1}$ và đường thẳng $d: y = x+3$. Tính tổng $x_1+x_2$. A. $-2$ B. $2$ C. $-4$ D. $4$. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{2x+7}{x+1} = x+3 \implies 2x+7 = (x+3)(x+1) \implies x^2 + 2x – 4 = 0$. Theo Viète, $x_1+x_2 = -2/1 = -2$. Đáp án đúng: A.3. Bài toán 3: Cho hàm số $y = \dfrac{4x+1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d: y = 3x+5$. Nếu $(C)$ và $d$ cắt nhau tại hai điểm có hoành độ $x_1, x_2$, tính giá trị biểu thức $P = x_1+x_2+x_1x_2$. A. $\dfrac{4}{3}$ B. $-\dfrac{4}{3}$ C. $-2$ D. $1$. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{4x+1}{x-1} = 3x+5 \implies 3x^2 – 2x – 6 = 0$. Theo Viète: $x_1+x_2 = 2/3$, $x_1x_2 = -2$. $P = 2/3 + (-2) = -4/3$. Đáp án đúng: B.4. Bài toán 4: Tìm tích $x_1x_2$ của hoành độ các giao điểm của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x+1}{x+2}$ và đường thẳng $y = x-1$. A. $-3$ B. $3$ C. $-1$ D. $1$. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{2x+1}{x+2} = x-1 \implies x^2 – x – 3 = 0$. Theo Viète, $x_1x_2 = -3/1 = -3$. Đáp án đúng: A.5. Bài toán 5: Đồ thị hàm số $y = \dfrac{x+6}{x-1}$ cắt đường thẳng $y=2x$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2$. Tính giá trị của biểu thức $T = \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$. A. $\dfrac{1}{2}$ B. $-\dfrac{1}{2}$ C. $-3$ D. $3$. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{x+6}{x-1} = 2x \implies 2x^2 – 3x – 6 = 0$. Theo Viète: $x_1+x_2 = 3/2$ và $x_1x_2 = -3$. $T = \dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2} = \dfrac{3/2}{-3} = -\dfrac{1}{2}$. Đáp án đúng: B.