Đề: Tìm hai điểm $A,B$ nằm trên đồ thị $(C):y=\frac{x^2}{x-1}$ và đối xứng nhau qua đường thẳng $(d):y=x-1$

Đề bài: Tìm hai điểm $A,B$ nằm trên đồ thị $(C):y=\frac{x^2}{x-1}$ và đối xứng nhau qua đường thẳng $(d):y=x-1$

Lời giải

Hai điểm $A,B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $(d)$.
$\Leftrightarrow AB\bot (d)$ và trung điểm $I$ của $AB$ thuộc $(d)$.
*Vì $AB$ vuông góc với $(d)$ nên $(AB):y=-x+m$.
Hoành độ giao điểm $A,B$ là nghiệm của phương trình:
$\frac{x^{2}}{x-1}=-x+m \Leftrightarrow g(x)=2x^{2}-(m+1)x+m=0 $ (1)
Để $A,B$ tồn tại thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt khi:
$\Delta_{g} >0 \Leftrightarrow (m+1)^{2}-8m>0 \Leftrightarrow m^{2}-6m+1>0$
$\Leftrightarrow m>3+\sqrt{8}$ hoặc $mKhi đó,giả sử $x_{A},x_{B}$ là các nghiệm của (1) thì:
$\begin{cases} x_{A}+x_{B}=\frac{m+1}{2} \\ x_{A}.x_{B}=\frac{m}{2}\end{cases} $
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$,ta có:
$I: \begin{cases} x_{I}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}\\y_{I}=-x_{I}+m\end{cases} \Leftrightarrow I: \begin{cases} x_{I}=\frac{m+1}{4}\\ y_{I}=\frac{3m-1}{4}\end{cases} $
*Điểm $I \in (d)$  nên:
$\frac{3m-1}{4}=\frac{m+1}{4}-1 \Leftrightarrow m=-1$
Với $m=-1$ phương trình (1) có dạng:
$2x^{2}-1=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x_{A}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\x_{B}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases} A(\frac{1}{\sqrt{2}};-1-\frac{1}{\sqrt{2}})\\ B(-\frac{1}{\sqrt{2}};-1+\frac{1}{\sqrt{2}})\end{cases} $