Đề: Cho hàm số $y=\frac{x^{2}-mx+m-1}{x-2}$.Tìm $m$ để đồ thị hàm số nhận điểm $I(2;3)$ làm tâm đối xứng.

Đề bài: Cho hàm số $y=\frac{x^{2}-mx+m-1}{x-2}$.Tìm $m$ để đồ thị hàm số nhận điểm $I(2;3)$ làm tâm đối xứng.

Lời giải

Điểm $I(2;3)$ là tâm đối xứng của đồ thị khi với phép biến đổi tọa độ:
$\begin{cases} X=x-2 \\ Y=y-3\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=X+2 \\ y=Y+3\end{cases}$
Hàm số sau là hàm lẻ:
$Y+3=\frac{(X+2)^{2}-m(X+2)+m-1}{(X+2)-2}$
Xét hàm số:
$Y=\frac{(X+2)^{2}-m(X+2)+m-1}{(X+2)-2}-3$
$\Leftrightarrow Y=\frac{X^{2}-(m+1)X-m+3}{X}$ (1)
Hàm số (1) là hàm lẻ khi và chỉ khi $m+1=0 \Leftrightarrow m=-1$
Vậy, với $m=-1$ đồ thị hàm số nhận điểm $I(2;3)$ làm tâm đối xứng.