Tâm đối xứng - trục đối xứng

Đề bài: Cho hàm số $y = 2x^3 - (2 + m)x^2 + 1    (1)$ , với $m$ là tham số. Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $(1)$ có $2$ điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Lời giải Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow \exists {x_0} \ne 0$ để $y({x_0}) =  - y( - {x_0})$ $ \Leftrightarrow \exists {x_0} \ne 0$ để $2{x_0}^3 - (2 + m){x_0}^2 + 1 = 2{x_0}^3 + (2 + m){x_0}^2 - 1$$ … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số $y = 2x^3 – (2 + m)x^2 + 1    (1)$ , với $m$ là tham số. Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $(1)$ có $2$ điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

Đề bài: Cho hàm số  $y = \frac{2x - 1}{x + 1}$. Chứng minh rằng đường thẳng $d: y = - x + 1$ là truc đối xứng của $(C)$. Lời giải Giao điểm hai tiệm cận  I(- 1;2) . Chuyển hệ trục toạ độ Oxy --> IXY: $\left\{ \begin{array}{l}x = X - 1\\y = Y + 2\end{array} \right.$Hàm số đã cho trở thành (C'): Y = $ - \frac{3}{X}$ Hàm số (C') đồng biến nên (C') đối xứng qua đường thẳng Y = … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số  $y = \frac{2x – 1}{x + 1}$. Chứng minh rằng đường thẳng $d: y = – x + 1$ là truc đối xứng của $(C)$.

Đề bài: Xác định $m$ để đồ thị hàm số $(C):y=x^{4}+4mx^{3}-2x^{2}-12mx$ có trục đối xứng song song với $Oy$. Lời giải Giả sử đồ thị có trục đối xứng song song với $Oy$ là $x=a(a\neq 0)$Khi đó,với phép biến đổi tọa độ:$\begin{cases} X=x-a \\Y=y\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=X+a \\y=Y \end{cases} $Hàm số $Y=(X+a)^{4}+4m(X+a)^{3}-2(X+a)^{2}-12m(X+a)$ là hàm số … [Đọc thêm...] vềĐề: Xác định $m$ để đồ thị hàm số $(C):y=x^{4}+4mx^{3}-2x^{2}-12mx$ có trục đối xứng song song với $Oy$.

Đề bài: Xem hàm số   $y = \frac{{{x^2} - 3x + 4}}{{2x - 2}}$1)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2)    $M$ là một điểm tùy ý thuộc đồ thị.Tiếp tuyến của đồ thị tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại $A$ và $B$. Chứng tỏ rằng $M$ là trung điểm của đoạn $AB$, và tam giác $IAB$, với $I$ là giao điểm của hai tiệm cận, có diện tích không phụ thuộc vào … [Đọc thêm...] vềĐề: Xem hàm số   $y = \frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x – 2}}$1)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2)    $M$ là một điểm tùy ý thuộc đồ thị.Tiếp tuyến của đồ thị tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại $A$ và $B$. Chứng tỏ rằng $M$ là trung điểm của đoạn $AB$, và tam giác $IAB$, với $I$ là giao điểm của hai tiệm cận, có diện tích không phụ thuộc vào $M$.3)    Tìm trên đồ thị hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x$

Đề bài: Cho hàm số $y=\frac{x^{2}-mx+m-1}{x-2}$.Tìm $m$ để đồ thị hàm số nhận điểm $I(2;3)$ làm tâm đối xứng. Lời giải Điểm $I(2;3)$ là tâm đối xứng của đồ thị khi với phép biến đổi tọa độ:$\begin{cases} X=x-2 \\ Y=y-3\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=X+2 \\ y=Y+3\end{cases}$Hàm số sau là hàm lẻ:$Y+3=\frac{(X+2)^{2}-m(X+2)+m-1}{(X+2)-2}$Xét hàm … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số $y=\frac{x^{2}-mx+m-1}{x-2}$.Tìm $m$ để đồ thị hàm số nhận điểm $I(2;3)$ làm tâm đối xứng.

Đề bài: Tìm hai điểm $A,B$ nằm trên đồ thị $(C):y=\frac{x^2}{x-1}$ và đối xứng nhau qua đường thẳng $(d):y=x-1$ Lời giải Hai điểm $A,B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $(d)$.$\Leftrightarrow AB\bot (d)$ và trung điểm $I$ của $AB$ thuộc $(d)$.*Vì $AB$ vuông góc với $(d)$ nên $(AB):y=-x+m$.Hoành độ giao điểm $A,B$ là nghiệm của phương trình:$\frac{x^{2}}{x-1}=-x+m … [Đọc thêm...] vềĐề: Tìm hai điểm $A,B$ nằm trên đồ thị $(C):y=\frac{x^2}{x-1}$ và đối xứng nhau qua đường thẳng $(d):y=x-1$

Đề bài: Cho hàm số: $y = \frac{x^2 + (m - 2)x + m + 1}{x + 1}\,\,\,$$1.$ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi $m = 2.$$2.$ Tìm $m$ để trên đồ thị có hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho :$\begin{array}{l}           5{x_A} - {y_A} + 3 = 0;  5{x_B} - {y_B} + 3 = 0\end{array}$Tìm $m$ để hai điểm $A, B$ đó đối xứng với nhau qua đường thẳng $(d)$ có phương trình: $x + 5y + 9 = 0$ Lời … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số: $y = \frac{x^2 + (m – 2)x + m + 1}{x + 1}\,\,\,$$1.$ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi $m = 2.$$2.$ Tìm $m$ để trên đồ thị có hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho :$\begin{array}{l}           5{x_A} – {y_A} + 3 = 0;  5{x_B} – {y_B} + 3 = 0\end{array}$Tìm $m$ để hai điểm $A, B$ đó đối xứng với nhau qua đường thẳng $(d)$ có phương trình: $x + 5y + 9 = 0$

Đề bài: Cho hàm số: $y = \frac{x}{1 + x}$$1.$ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho.$2.$ Gọi $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận. Hãy chứng minh:$a)$ $I$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.$b)$ Không có bất cứ đường tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đi qua $I.$$3.$ Chứng minh rằng với mọi $a, b$ ta có: $\frac{{|a + b|}}{{1 + |a + b|}} \le … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số: $y = \frac{x}{1 + x}$$1.$ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho.$2.$ Gọi $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận. Hãy chứng minh:$a)$ $I$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.$b)$ Không có bất cứ đường tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đi qua $I.$$3.$ Chứng minh rằng với mọi $a, b$ ta có: $\frac{{|a + b|}}{{1 + |a + b|}} \le \frac{{|a| + |b|}}{{1 +|a| + |b|}}$Hãy chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi nào?

Đề bài: Cho hàm số  $y = \frac{2x^2 + (m - 4)x - 2m + 1}{x - 2} (1)$. Tìm $m$ để đồ thị của hàm số $(1)$ nhận điểm $(2; 1)$ làm tâm đối xứng. Lời giải $y = f(x) = \frac{{2{x^2} + (m - 4)x - 2m + 1}}{{x - 2}} = 2x + m + \frac{1}{{x - 2}}$ Đồ thị nhận E(2;1) là tâm đối xứng khi và chỉ khi $\frac{{f(2 + t) + f(2 - t)}}{2} = 1\forall t \ne 0 \Rightarrow m =  - 3$ … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số  $y = \frac{2x^2 + (m – 4)x – 2m + 1}{x – 2} (1)$. Tìm $m$ để đồ thị của hàm số $(1)$ nhận điểm $(2; 1)$ làm tâm đối xứng.

Đề bài:  Cho hàm số   $y = \frac{{{x^2} + 2{m^2}x + {m^2}}}{{x + 1}}$1)    Với giá trị nào của $m$ thì hàm số có cực trị?2)    Xác định $m$ để đồ thị của hàm số có 2 điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.3)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ứng với $m = 2$ Lời giải $1)$    Ta có $y = x + 2{m^2} - 1 + \frac{{1 - {m^2}}}{{x + 1}}$, do đó$y' = 1 - \frac{{1 - … [Đọc thêm...] vềĐề:  Cho hàm số   $y = \frac{{{x^2} + 2{m^2}x + {m^2}}}{{x + 1}}$1)    Với giá trị nào của $m$ thì hàm số có cực trị?2)    Xác định $m$ để đồ thị của hàm số có 2 điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.3)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ứng với $m = 2$