• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Môn Lý
  • Môn Hóa
  • Môn Anh
  • Môn Sinh
  • Môn Văn
Bạn đang ở:Trang chủ / Bài tập Hàm số / Đề: Xem hàm số   $y = \frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x – 2}}$1)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2)    $M$ là một điểm tùy ý thuộc đồ thị.Tiếp tuyến của đồ thị tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại $A$ và $B$. Chứng tỏ rằng $M$ là trung điểm của đoạn $AB$, và tam giác $IAB$, với $I$ là giao điểm của hai tiệm cận, có diện tích không phụ thuộc vào $M$.3)    Tìm trên đồ thị hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x$

Đề: Xem hàm số   $y = \frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x – 2}}$1)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2)    $M$ là một điểm tùy ý thuộc đồ thị.Tiếp tuyến của đồ thị tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại $A$ và $B$. Chứng tỏ rằng $M$ là trung điểm của đoạn $AB$, và tam giác $IAB$, với $I$ là giao điểm của hai tiệm cận, có diện tích không phụ thuộc vào $M$.3)    Tìm trên đồ thị hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x$

Đăng ngày: 11/03/2020 Biên tâp: admin Để lại bình luận Thuộc chủ đề:Bài tập Hàm số

ham so
Đề bài: Xem hàm số   $y = \frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x – 2}}$1)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2)    $M$ là một điểm tùy ý thuộc đồ thị.Tiếp tuyến của đồ thị tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại $A$ và $B$. Chứng tỏ rằng $M$ là trung điểm của đoạn $AB$, và tam giác $IAB$, với $I$ là giao điểm của hai tiệm cận, có diện tích không phụ thuộc vào $M$.3)    Tìm trên đồ thị hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x$

Lời giải

$1)$    Dành cho bạn đọc.

$2)$    Kí hiệu ${x_M} = a$ là hoành độ của $M$. Khi đó $M$ có tung độ
${y_M} = \frac{a}{2} – 1 + \frac{1}{{a – 1}}$
và tại $M$ tiếp tuyến có hệ số góc $y’\left( a \right) = 1/2 – 1/{\left( {a – 1} \right)^2}$.
Từ đó ta có phương trình tiếp tuyến tại $M$:  $y = \left[ {\frac{1}{2} – \frac{1}{{{{\left( {a – 1} \right)}^2}}}} \right]\left( {x – a} \right) + \left( {\frac{a}{2} – 1 + \frac{1}{{a – 1}}} \right)$
Tiếp tuyến này cắt tiệm cận đứng tại $A$ với tọa độ ${x_A} = 1$.
${y_A} = \left[ {\frac{1}{2} – \frac{1}{{{{\left( {a – 1} \right)}^2}}}} \right]\left( {1 – a} \right) + \left( {\frac{a}{2} – 1 + \frac{1}{{a – 1}}} \right) =  – \frac{1}{2} + \frac{2}{{a – 1}}$
và cắt tiệm cận xiên tại với tọa độ
${y_B} = \left[ {\frac{1}{2} – \frac{1}{{{{\left( {a – 1} \right)}^2}}}} \right]\left( {{x_B} – a} \right) + \left( {\frac{a}{2} – 1 + \frac{1}{{a – 1}}} \right) = \frac{B}{2} – 1$
$ \Rightarrow \frac{{{x_B} – a}}{{{{\left( {a – 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{a – 1}} \Rightarrow {x_B} = 2a – 1$ , do đó ${y_B} = a – 3/2$.
Ta có $\frac{1}{2}\left( {{x_A} + {x_B}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + 2a – 1} \right) = a = {x_M},$
$\frac{1}{2}\left( {{y_A} + {y_B}} \right) = \frac{1}{2}\left[ { – \frac{1}{2} + \frac{2}{{a – 1}} + a – \frac{3}{2}} \right] = \frac{a}{2} – 1 + \frac{1}{{a – 1}} = {y_M},$  chứng tỏ $M$ là trung điểm của $AB$.
Giao điểm $I$ của các tiệm cận có tọa độ ${x_1} = 1,{y_1} = \left( {1/2} \right) – 1 =  – 1/2$. Vậy $\Delta IAB$ có diện tích
$S = \frac{1}{2}\left| {{y_A} – {y_1}} \right|.\left| {{x_A} + {x_1}} \right| = \frac{1}{2}.\frac{2}{{a – 1}}.\left| {2a – 2} \right| = 2$

$3)$    Gọi ${x_1},{x_2}$ là hoành độ hai điểm $M, N$ của đồ thị đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x$. Thế thì ${x_2},{x_1}$ là tung độ của hai điểm $M, N$.
Đường thẳng $MN$ vuông góc với đường thẳng $y = x$ nên có hệ số góc $-1$, vậy có phương trình $y = – x + k$. Ta có ${x_2} = – {x_1} + k \Rightarrow k = {x_1} + {x_2}$. $M, N$ thuộc đồ thị nên ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình
$\frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x – 2}} = – x + k \Leftrightarrow 3{x^2} – \left( {5 + 2k} \right)x + 4 + 2k = 0$.        $(1)$
Theo định lí Viet ta có $k = {x_1} + {x_2} = \left( {5 + 2k} \right)/3 \Rightarrow k = 5$.
Với $k = 5\Rightarrow $ (1) trở thành $3{x^2} – 15x + 14 = 0$. Giải ra ta có  ${x_{1,2}} = \frac{{15 \pm \sqrt {57} }}{6}$

Tag với:Tâm đối xứng - trục đối xứng

Bài liên quan:

  • Đề: Cho hàm số $y = 2x^3 – (2 + m)x^2 + 1    (1)$ , với $m$ là tham số. Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $(1)$ có $2$ điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
  • Đề: Cho hàm số  $y = \frac{2x – 1}{x + 1}$. Chứng minh rằng đường thẳng $d: y = – x + 1$ là truc đối xứng của $(C)$.
  • Đề: Xác định $m$ để đồ thị hàm số $(C):y=x^{4}+4mx^{3}-2x^{2}-12mx$ có trục đối xứng song song với $Oy$.
  • Đề: Cho hàm số $y=\frac{x^{2}-mx+m-1}{x-2}$.Tìm $m$ để đồ thị hàm số nhận điểm $I(2;3)$ làm tâm đối xứng.
  • Đề: Tìm hai điểm $A,B$ nằm trên đồ thị $(C):y=\frac{x^2}{x-1}$ và đối xứng nhau qua đường thẳng $(d):y=x-1$
  • Đề: Cho hàm số: $y = \frac{x^2 + (m – 2)x + m + 1}{x + 1}\,\,\,$$1.$ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi $m = 2.$$2.$ Tìm $m$ để trên đồ thị có hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho :$\begin{array}{l}           5{x_A} – {y_A} + 3 = 0;  5{x_B} – {y_B} + 3 = 0\end{array}$Tìm $m$ để hai điểm $A, B$ đó đối xứng với nhau qua đường thẳng $(d)$ có phương trình: $x + 5y + 9 = 0$
  • Đề: Cho hàm số: $y = \frac{x}{1 + x}$$1.$ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho.$2.$ Gọi $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận. Hãy chứng minh:$a)$ $I$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.$b)$ Không có bất cứ đường tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đi qua $I.$$3.$ Chứng minh rằng với mọi $a, b$ ta có: $\frac{{|a + b|}}{{1 + |a + b|}} \le \frac{{|a| + |b|}}{{1 +|a| + |b|}}$Hãy chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi nào?
  • Đề: Cho hàm số  $y = \frac{2x^2 + (m – 4)x – 2m + 1}{x – 2} (1)$. Tìm $m$ để đồ thị của hàm số $(1)$ nhận điểm $(2; 1)$ làm tâm đối xứng.
  • Đề:  Cho hàm số   $y = \frac{{{x^2} + 2{m^2}x + {m^2}}}{{x + 1}}$1)    Với giá trị nào của $m$ thì hàm số có cực trị?2)    Xác định $m$ để đồ thị của hàm số có 2 điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.3)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ứng với $m = 2$
  • Đề: Cho hàm số $y=x^{3}-3x^{2}+1$.Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận điểm $I(1;-1)$ làm tâm đối xứng.

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Bài tập tự luận về hàm số




Booktoan.com (2015 - 2021) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.