Đề: Xác định $m$ để đồ thị hàm số $(C):y=x^{4}+4mx^{3}-2x^{2}-12mx$ có trục đối xứng song song với $Oy$.

Đề bài: Xác định $m$ để đồ thị hàm số $(C):y=x^{4}+4mx^{3}-2x^{2}-12mx$ có trục đối xứng song song với $Oy$.

Lời giải

Giả sử đồ thị có trục đối xứng song song với $Oy$ là $x=a(a\neq 0)$
Khi đó,với phép biến đổi tọa độ:
$\begin{cases} X=x-a \\Y=y\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=X+a \\y=Y \end{cases} $
Hàm số $Y=(X+a)^{4}+4m(X+a)^{3}-2(X+a)^{2}-12m(X+a)$ là hàm số chẵn.
Ta có:
$Y=(X+a)^{4}+4m(X+a)^{3}-2(X+a)^{2}-12m(X+a)$
$=X^{4}+4a^{2}X^{2}+a^{4}+4aX^{3}+2a^{2}X^{2}+4aX^{3}+4m(X^{3}+3X^{2}a+3Xa^{2}+a^{3})-$
$-2(X^{2}+2Xa+a^{2})-12m(X+a)$
$=X^{4}+4(a+m)X^{3}+2(3a^{2}+6am-1)X^{2}+4(a^{3}+3ma^{2}-a-3m)X$
$+a^{4}+4ma^{3}-2a^{2}-12ma$ (1)
Hàm số (1) là hàm số chẵn
$\Leftrightarrow \begin{cases} 4(a+m)=0 \\4(a^{3}+3ma^{2}-a-3m)=0\end{cases} \Leftrightarrow m=\pm 1$
Vậy với $m=\pm 1$ đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với $Oy$.