Đề: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=\sqrt{5x^{2}+14x+13}+\sqrt{5}|x-1|$

Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=\sqrt{5x^{2}+14x+13}+\sqrt{5}|x-1|$

Lời giải

Viết lại hàm số dưới dạng:
$y=\sqrt{(x+3)^{2}+(2x+2)^{2}}+\sqrt{5(x-1)^{2}}$
$y=\sqrt{(x+3)^{2}+(2x+2)^{2}}+\sqrt{(x-1)^{2}+(2x-2)^{2}}$
Xét các điểm $A(-3;-2),B(1;2)$ và $M(x;2x)$ khi đó:
 Ta có: 
$\overrightarrow{AM}(x+3;2x+2)$ 
$\overrightarrow{AB}(4;4)$ 
$AM=\sqrt{(x+3)^{2}+(2x+2)^{2}},BM=\sqrt{(x-1)^{2}+(2x-2)^{2}}$
suy ra:
$y=AM+BM\geq AB=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$
Vậy ta có: $y_{Min}=4\sqrt{2}$, đạt được khi
$A,B,M$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow {AM}cùng  hướng  với \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \frac{x+3}{4}=\frac{2x+2}{4}\Leftrightarrow x=1$

Vậy GTNN của hàm số bằng $4\sqrt{2}$, đạt được tại $x=1$.