Đề: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :$\begin{array}{l}1/\,\,\,\,\,y = x\ln x – x\ln 5,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \in \left[ {1,5} \right]\\2/\,\,\,\,y = \frac{1}{2}x\ln x – x\ln 2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \in \left[ {1,2} \right]\end{array}$

Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :$\begin{array}{l}1/\,\,\,\,\,y = x\ln x – x\ln 5,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \in \left[ {1,5} \right]\\2/\,\,\,\,y = \frac{1}{2}x\ln x – x\ln 2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \in \left[ {1,2} \right]\end{array}$

Lời giải

$1/$   Hàm số  $y = x\ln x – x\ln 5$ xác định trên $\left[ {1,5} \right]$
                       $\begin{array}{l}
{y’ } = \ln x + 1 – \ln 5 = \ln \frac{{ex}}{5}\\
{y’ } = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\frac{{ex}}{5} = 1\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x = \frac{5}{e}\\
f\left( {\frac{5}{e}} \right) = \frac{5}{e}\left( {\ln \frac{5}{e} – \ln 5} \right) =  – \frac{5}{e}
\end{array}$
Hàm số $y = x\ln x – x\ln 5$ đạt $1$ giá trị cực tiểu trên đoạn $\left[ {1,5} \right]$, đó là giá trị bằng $ – \frac{5}{e}$tại điểm $x = \frac{5}{e}$
        Vậy $\mathop {\min y}\limits_{1 \le x \le 5}  =  – \frac{5}{e}$
 $2/$  Hàm số  $y = \frac{1}{2}x\ln x – x\ln 2$ xác định trên $\left[ {1,2} \right]$
$\begin{array}{l}
{y’ } =\frac{1}{2}( \ln x + 1) – \ln 2 = \ln \frac{\sqrt {ex}}{2}\\
{y’ } = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\frac{\sqrt{ex}}{2} = 1\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x = \frac{4}{e}\\
f\left( {\frac{4}{e}} \right) = \frac{2}{e}\ln \frac{4}{e}-\frac{4}{e}.\ln 2=  – \frac{2}{e}
\end{array}$
Hàm
số $y = \frac{1}{2}x\ln x – x\ln 2$ đạt $1$ giá trị cực tiểu trên đoạn $\left[
{1,2} \right]$, đó là giá trị bằng $ – \frac{2}{e}$tại điểm $x =
\frac{4}{e}$
        Vậy $\mathop {\min y}\limits_{1 \le x \le 2}  =  – \frac{2}{e}$