Đề: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:     $y=\frac{20x^2+10x+3}{3x^2+2x+1}$

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:     $y=\frac{20x^2+10x+3}{3x^2+2x+1}$

Lời giải

Ta đi tìm $y$ để phương trình:
  $y=\frac{20x^2+10x+3}{3x^2+2x+1}$ có nghiệm với ẩn $x$.
Phương trình được biến đổi về dạng:
        $(3y-20)x^2+2(y-5)x+y-3=0             (1)$
Trường hợp 1: Với $y=\frac{20}{3} $ thì:
        $(1)\Leftrightarrow \frac{10}{3}x+\frac{11}{3}=0\Leftrightarrow x=-\frac{11}{10}$
Trường hợp 2: Với $y\neq \frac{20}{3}$ thì $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi:  
     $\begin{cases}y\neq \frac{20}{3} \\ \Delta ^’\geq 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y\neq \frac{20}{3} \\ (y-5)^2-(y-3)(3y-20)\geq 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y\neq \frac{20}{3} \\ \frac{5}{2}\leq y\leq 7\end{cases}$.
Từ đó $(1)$ có nghiệm khi $\frac{5}{2}\leq y\leq 7$.
Vậy,ta có ngay:
    $y_{\max}=7$ đạt được khi $x=-\frac{y-5}{3y-20}=-2$.
     $y_{\min}=\frac{5}{2}$ đạt được  khi $x=-\frac{y-5}{3y-20}=-\frac{1}{5}$