Đề: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số      $y=\frac{3x^4+mx^2+3}{x^4+2x^2+1}        ( m\neq 6)$

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số      $y=\frac{3x^4+mx^2+3}{x^4+2x^2+1}        ( m\neq 6)$

Lời giải

Tập xác định: $R$
* Với $x=0$ có $y=3 \forall m \in R       (2)$
* Với $x\neq 0$ chia cả tử và mẫu cho $x^2$ ta có:
$(1) \Leftrightarrow y=\frac{3(x^2+\frac{1}{x^2})+m}{x^2+\frac{1}{x^2}+2}$. Đặt $t=x^2+\frac{1}{x^2}, t\geq 2$
Hàm số $(1)$ trở thành : $y=\frac{3t+m}{t+2}   (3)$
Do $t\geq 2 \Leftrightarrow t+2 \geq 4$ nên $(3) \Leftrightarrow y(t+2)=3t+m \Leftrightarrow (y-3)t=m-2y   (4)$
Theo giá thiết $m\neq 6$, suy ra trong $(4)$ phải có $y\neq 3    (5)$
Bởi vậy $(4) \Leftrightarrow \frac{m-2y}{y-3}=t \geq 2 \Rightarrow \frac{m-2y-2(y-3)}{y-3} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{6+m-4y}{y-3}\geq 0$
$\mathop {\Leftrightarrow}\limits^{y=3} (y-3)(6+m-y) \geq 0 \mathop {\Leftrightarrow}\limits^{y=3} \begin{cases}3\leq y\leq \frac{m+6}{4},  nếu  m>6\\ \frac{m+6}{4} \leq y\leq 3,  nếu  mDấu đẳng thức: $t=2 \Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=2 \Leftrightarrow x^2=1 \Leftrightarrow x=\pm1   (6)$
Từ $(3)$ và $(6)$ suy ra:
* Nếu $m>6$ thì $\mathop {\min}\limits_{R} y =y(0)=3, \mathop {\max}\limits_{R} y=y(\pm 1)=\frac{6+m}{4}$
* Nếu $m