Câu hỏi:
Một khối hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là một hình vuông. Biết diện tích toàn phần của hình hộp đó là 32. Hỏi thể tích lớn nhất V của khối hộp ABCD.A1B1C1D1 là bao nhiêu?
- A.\(V = \frac{{56\sqrt 3 }}{9}\)
- B.\(V= \frac{{70\sqrt 3 }}{9}\)
- C.\(V = \frac{{64\sqrt 3 }}{9}\)
- D.\(V = \frac{{80\sqrt 3 }}{9}\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: C
Gọi x là cạnh hình vuông đáy.
y là chiều cao hình hộp.
Diên tích toàn phần: \({S_{tp}} = 2\left( {{x^2} + 2xy} \right) = 32 \Leftrightarrow {x^2} + 2xy = 16 \Rightarrow xy = \frac{{16 – {x^2}}}{2} > 0\)
Thể tích hình hộp là:\(V = {x^2}y = x.xy = x.\frac{{16 – {x^2}}}{2} = \frac{1}{2}\left( {16x – {x^3}} \right),x \in \left( {0;4} \right)\)
Xét hàm số: \(f(x) = 16x – {x^3}\) trên (0;4)
\(f'(x) = 16 – 3{x^2} = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\,(Do\,x \in \left( {0;4)} \right)\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\); \(\mathop {\max f(x)}\limits_{x \in \left( {0;4} \right)} = \frac{{128\sqrt 3 }}{9}\)
Vậy thể tích lớn nhất của hình hộp là \(V = \frac{1}{2}.\frac{{128\sqrt 3 }}{9} = \frac{{64\sqrt 3 }}{9}\)
=====
Mời các bạn xem lại Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Trả lời