Đề: Chứng minh rằng mọi hàm số xác định trên $(-a, a)$ $($với $ a > 0)$ đều có thể biểu diễn thành tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ.

Đề bài: Chứng minh rằng mọi hàm số xác định trên $(-a, a)$ $($với $ a > 0)$ đều có thể biểu diễn thành tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ.

Lời giải

                               Giải

Ta có :     $f(x) = \frac{{f(x) – f( – x)}}{2} + \frac{{f(x) + f( – x)}}{2}$
        $g(x) = \frac{{f(x) – f( – x)}}{2}$,            $h(x) = \frac{{f(x) + f( – x)}}{2}$
$x \in D = (-a, a) : g(-x) = \frac{{f(x) + f( – x)}}{2} = \frac{{f(x) – f(-  x)}}{2}=-g(x)$
$\Rightarrow g(x)$ lẻ
$h( – x) = \frac{{f(x) + f( – x)}}{2}= h(x)\Rightarrow   h(x)$ chẵn.
$ \Rightarrow f(x) = g(x) + h(x) $        (đpcm)