• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Đề: Cho $y=\sqrt{acos^2x+bsin^2x+c}+\sqrt{asin^2x+bcos^2x+c}  $Với $a > 0,b > 0,c > 0$.  Tìm $\min y, \max y$

Đăng ngày: 04/03/2020 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bài tập Hàm số Tag với:Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất

ham so
Đề bài: Cho $y=\sqrt{acos^2x+bsin^2x+c}+\sqrt{asin^2x+bcos^2x+c}  $Với $a > 0,b > 0,c > 0$.  Tìm $\min y, \max y$

Lời giải

•    Tính $\max y$
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
$y  \le  \sqrt 2 \sqrt {a\cos {x^2} + b\sin {x^2} + c + a\sin {x^2} + b\cos {x^2} + c}  = \sqrt 2 \sqrt {a + b + 2c} $
Dấu = xảy ra khi
 $a\cos {x^2} + b\sin {x^2} + c = a\sin {x^2} + b\cos {x^2} + c$
Chẳng hạn như $\sin x = \cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
Vậy $\max y = \sqrt 2 \sqrt {a + b + 2c} $

•    Tính $\min y$
Do $y > 0$ nên ta xét:
$z = {y^2} = a + b + 2c + 2\sqrt {\left( {a\cos {x^2} + b\sin {x^2} + c} \right)\left( {a\sin {x^2} + b\cos {x^2} + c} \right)} $
   $ = a + b + 2c + 2\sqrt {\left[ {a + c – \left( {a – b} \right)\sin {x^2}} \right].\left[ {b + c + \left( {a – b} \right)\sin {x^2}} \right]} $         $(1)$
Chỉ cần tìm $min$ của biểu thức trong căn, đặt ${\sin ^2}x = t \in \left[ {0;1} \right]$ ta được biểu thức đó là :
$u = \left[ {a + c – \left( {a – b} \right)t} \right].\left[ {b + c – \left( {a – b} \right)t} \right]$ với $t \in \left[ {0;1} \right]$
$u’ = … = – 2{\left( {a – b} \right)^2}t + {\left( {a – b} \right)^2}$            $(2)$
Trường hợp $a = b$ thì $u’ \equiv 0 \Rightarrow u = $ hằng $ \Rightarrow z = $ hằng.
$ \Rightarrow $ từ $(1)$ có $z = a + b + 2c + 2\sqrt {\left( {a + b} \right).\left( {b + c} \right)}  = {\left( {\sqrt {a + b}  + \sqrt {b + c} } \right)^2}$
$ \Rightarrow y = \sqrt {a + b}  + \sqrt {b + c} $ nên $\min y = \sqrt {a + b}  + \sqrt {b + c}  = 2\sqrt {\left( {a + b} \right)} $
Trường hợp $a \ne b$: từ $(2)$ $u’$ có nghiệm là $t = \frac{1}{2}$ và đổi dấu qua $t = \frac{1}{2}$ từ + sang – nên:
$min u = min \left\{ {u\left( 0 \right);u\left( 1 \right)} \right\} = \min \left\{ {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right);\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)} \right\} = \left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)$
Suy ra
$\min z = a + b + 2c + 2\sqrt {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}  = {\left( {\sqrt {a + c}  + \sqrt {b + c} } \right)^2}$
$ \Rightarrow min z = \sqrt {a + c}  + \sqrt {b + c} $ vẫn như trường hợp $a = b$

Thuộc chủ đề:Bài tập Hàm số Tag với:Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất

Bài liên quan:

  1. Đề:   Cho 3 số dương $a,b,c$ thỏa $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:        $P=\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ac}{b^2a+b^2c}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}$
  2. Đề: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:        $y=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$
  3. Đề: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của tổng $S=3x+4y$, trong đó $(x, y)$ là nghiệm của bất phương trình $\log_{x^2+y^2}x 1$, trong hai trường hợp:a) $0
  4. Đề: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{1+\sin x}-3$
  5. Đề: Tìm GTLN của:a)$y=x(a-2x)^{2}, 0 \leq  x \leq  \frac{a}{2} $                              b) $y=\ sin^{2}x\cos x $
  6. Đề: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:   $f(x)=\frac{2x^2+5x+4}{x+2}$ trên đoạn $[0;1]$.
  7. Đề: Cho hàm số : $y = \frac{{x^2\cos \alpha  – 2x + \cos\alpha }}{{x^2 – 2x\cos\alpha  + 1}},\alpha  \in (0,\pi )$Tìm miền giá trị của hàm số $y$
  8. Đề: Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$, và $(D)$ là đường thẳng có phương trình $y = ax + b$.1) $a, b$ phải thỏa mãn điều kiện gì để đường thẳng $(D)$ tiếp xúc với $(C)$?2) Giả sử điều kiện trên được nghiệm đúng. Khi đó $(D)$ cắt $Ox$ và $Oy$ tại $M$ và $N$.a) Chứng tỏ rằng tam giác $OMN$ có diện tích không đổi.b) Chứng tỏ rằng điểm giữa của đoạn $MN$ là tiếp điểm của $(D)$ với $(C)$.c) Khi nào thì khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $(D)$ là lớn nhất
  9. Đề: Trên parabol $y = {x^2}$, lấy hai điểm $A( – 1, 1), B(3 , 9)$ và  một điểm $M$ thuộc cung  . Xác định vị trí của $M$ sao cho tam giác $ABM$ có diện tích lớn nhất.
  10. Đề:  Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2 \leq 1$Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=xy+yz+2zx$
  11. Đề: Cho hàm số :  $y=\sqrt{\sin x } + \sqrt{\cos x }$.  Tìm $max  y ,  min  y.$
  12. Đề: Cho các số thực không âm $a,b$ thỏa mãn $a+b=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :       $A=16ab(a-b)^2$
  13. Đề:   Cho $x>0$, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:         $y=4x+\frac{9\pi^2}{x}+\sin x$
  14. Đề: Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng $(P)$ đi qua một đường chéo của hình lập phương. Phải chọn mặt phẳng $(P)$ thế nào để thiết diện thu được có diện tích nhỏ nhất?
  15. Đề: Cho hàm số :  $y= \frac{ \sin x + 2 \cos x +3}{ 2 \sin x+\cos x +3}.$  Tìm  $max  y  , min  y.$

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Bài tập tự luận về hàm số




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.