Đề bài: Cho $x>0,y>0$ và $xy=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:a) $P(x;y)=x^2+y^2$. b) $Q(x;y)=(x+1)(4y+3)$
Lời giải
a) $P(x;y)=x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=(x+y)^2-8$
Theo hệ quả của bất đẳng thức Côsi cho x và y dương:
$(x+y)^2\geq 4xy=16$.
Tích $xy=4$ là hằng số nên tổng $x+y$ nhỏ nhất khi $x=y=2$.
Vậy: min $P(x;y)=4^2-8=8$ đạt được khi $x=y=2$.
b) $Q(x;y)=4xy+3+3x+4y=19+3x+4y\geq 19+2\sqrt{3x.4y}=19+8\sqrt{3}$
(áp dụng BĐT Cô-si thì $3x+4y\geq 8\sqrt 3.$)
Min $Q(x;y)=19+8\sqrt{3}$ đạt được khi $3x=4y,xy=4\Leftrightarrow x=\frac{4\sqrt{3}}{3},y=\sqrt{3}$.
Trả lời