Đề: Cho $x$ và $y$ là hai số bất kỳ.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$A=\sqrt{x^{2}+y^{2}-4y+5}+\sqrt{x^{2}+y^{2}+2x+2}$

Đề bài: Cho $x$ và $y$ là hai số bất kỳ.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$A=\sqrt{x^{2}+y^{2}-4y+5}+\sqrt{x^{2}+y^{2}+2x+2}$

Lời giải

Viết $A$ dưới dạng: $A=\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}+1}+\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}+1}$
Trong không gian $Oxyz$,ta xét hai vectơ :
$\overrightarrow {u}=(x;y-2;1),\overrightarrow {v}=(-x-1;-y;1)$
Ta có: $\overrightarrow {u}+\overrightarrow {v}=(-1;-2;2)$.Suy ra:
$A=|\overrightarrow {u}|+|\overrightarrow {v}|$ và $|\overrightarrow {u}+\overrightarrow {v}|=3$
Mặt khác với hai vectơ $\overrightarrow {u}$ và $\overrightarrow {v}$ ta luôn có: $|\overrightarrow {u}|+|\overrightarrow {v}| \geq |\overrightarrow {u}+\overrightarrow {v}|$
Do đó: $A\geq 3$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\overrightarrow {u}$ và  $\overrightarrow {v}$ cùng hướng,tức là:
$\frac{x}{-x-1}=\frac{y-2}{-y}=\frac{1}{1}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{x}{-x-1}=1 \\\frac{y-2}{-y}=1 \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases} x=-\frac{1}{2} \\ y=1 \end{cases} $
Vậy Min $A=3$,xảy ra khi $x=-\frac{1}{2}$ và $y=1$