Đề: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 1, \(\widehat {BA{\rm{D}}} = {60^o},\) (SCD) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SC và (ABCD) bằng \({45^o}.\) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.BCD.

ABCD là hình thoi có \(\widehat {BA{\rm{D}}} = {60^o} \Rightarrow \) ABD và BCD là hai tam giác đều cạnh bằng 1.

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SA{\rm{D}}} \right) \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\\left( {SC{\rm{D}}} \right) \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\\left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right) = S{\rm{D}}\end{array} \right. \Rightarrow S{\rm{D}} \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Kẻ Gx // SD suy ra Gx là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Trong mặt phẳng (SDG), kẻ Ky vuông góc SD và cắt Gx tại I (với K là trung điểm của SD) suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.BCD.

Ta có: \(IG = K{\rm{D}} = \frac{1}{2};\,\,DG = \frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow I{\rm{D}} = \sqrt {I{G^2} + G{{\rm{D}}^2}}  = \frac{{\sqrt {21} }}{6}.\)

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.BCD là \(S = 4\pi {\left( {\frac{{\sqrt {21} }}{6}} \right)^2} = \frac{{7\pi }}{3}.\)