Đề: Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\left( C \right)\). Tìm các giá trị thực của m để đường thẳng \(d:y = x + m – 1\) cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho \(AB = 2\sqrt 3\).

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là

\(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = x + m – 1 \Rightarrow {x^2} + \left( {m – 2} \right)x + m – 2 = 0\,\left( * \right)\)

Ta thấy x=-1 không là nghiệm của (*)

Vì A,B là giao điểm của (C) và d nên A,B thuộc đường thẳng d và tọa độ x₁;x₂ là nghiệm của phương trình (*)

\(A\left( {{x_1};{x_1} + m – 1} \right);B\left( {{x_2};{x_2} + m – 1} \right)\)

\(\to AB = {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} + {\left( {{x_2} – {x_1}} \right)^2} = 2\left( {{x_1} – {x_2}} \right) = 2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 4\left( {{x_1}.{x_2}} \right)} \right]\)

Theo vi-et: \({x_1} + {x_2} = 2 – m\) ; \({x_1}{x_2} = m – 2\)

\(A{B^2} = 12 \Leftrightarrow m = 4 \pm \sqrt {10}\)